Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{x}}{x}

Passo 1

O que o problema pede: calcular \lim_{x\to 0^{+}} \dfrac{\sqrt{x}}{x}.
Informações dadas:
  • A variável x tende para 0 pela direita, ou seja, consideramos apenas x>0.
  • A expressão a avaliar é \dfrac{\sqrt{x}}{x}.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: escrever a raiz como potência para manipular mais facilmente.
\sqrt{x}=x^{1/2},
então
\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{x^{1/2}}{x}=x^{1/2-1}=x^{-1/2}.
Outra forma equivalente e talvez mais intuitiva é
\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}.

Passo 3

Agora analisa-se o comportamento quando x\to 0^{+}. Para x>0 pequeno temos \sqrt{x}>0, portanto \dfrac{1}{\sqrt{x}}>0.
Uma substituição simples deixa isso claro: ponha x=u^{2} com u>0. Quando x\to 0^{+} temos u\to 0^{+}. A expressão vira
\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{u}{u^{2}}=\frac{1}{u}.
Mas \dfrac{1}{u} cresce sem limite quando u\to 0^{+} (por exemplo, u=0{,}1\Rightarrow 1/u=10; u=0{,}01\Rightarrow 1/u=100). Logo a expressão tende a crescer sem bound quando x aproxima de zero pela direita.

Passo 4

Dar uma justificativa formal do tipo "tende a +\infty". Queremos mostrar que para todo M>0 existe \delta>0 tal que, se 0<x<\delta, então \dfrac{\sqrt{x}}{x}>M.
Escolha \delta=\dfrac{1}{M^{2}}. Se 0<x<\delta então \sqrt{x}<\dfrac{1}{M}, portanto
\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}>\frac{1}{1/M}=M.
Isso prova formalmente que a função torna-se arbitrariamente grande quando x\to 0^{+}.

Resposta

+\infty

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