Calcule os limites abaixo:
Passo 1
O que o problema pede: calcular
.
Informações dadas:
- A variável
tende para pela direita, ou seja, consideramos apenas . - A expressão a avaliar é
.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: escrever a raiz como potência para manipular mais facilmente.
então
Outra forma equivalente e talvez mais intuitiva é
Passo 3
Agora analisa-se o comportamento quando
. Para
pequeno temos
, portanto
.
Uma substituição simples deixa isso claro: ponha
com
. Quando
temos
. A expressão vira
Mas
cresce sem limite quando
(por exemplo,
;
). Logo a expressão tende a crescer sem bound quando
aproxima de zero pela direita.
Passo 4
Dar uma justificativa formal do tipo "tende a
". Queremos mostrar que para todo
existe
tal que, se
, então
.
Escolha
. Se
então
, portanto
Isso prova formalmente que a função torna-se arbitrariamente grande quando
.