Calcule os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas relevantes:
Se eu substituir
diretamente, obtenho uma forma indeterminada:
ou seja, a substituição direta dá
, que é indeterminado. A pergunta continua sendo: qual é o limite quando
se aproxima de
?
Passo 2
Conceito essencial (explicando devagar): quando ao substituir obtemos
, isso indica uma indeterminação — muitas vezes os fatores que causam zero no numerador e denominador são comuns e podem ser simplificados. Se uma função racional tem um fator comum
no numerador e denominador, podemos cancelar esse fator para todas as
; como o limite depende apenas do comportamento quando
está próximo de
(mas não igual a
), podemos substituir por essa forma simplificada e calcular o limite nela. Essa situação chama-se descontinuidade removível.
Passo 3
Aplicando a ideia ao nosso caso: há o fator comum
no numerador e no denominador. Para
podemos simplificar:
Aqui eu cancelei
. Observação importante: a igualdade entre as duas expressões vale para todo
diferente de
. Para calcular o limite quando
isso é suficiente, pois o limite olha só para valores próximos de
, não para o valor no próprio ponto.
Passo 4
Agora calculamos o limite da função simplificada. A função
é uma função racional contínua em pontos onde o denominador não é zero; como para
o denominador vale
, podemos simplesmente substituir
:
Portanto o limite procurado é
.
Passo 5
Dica rápida para a prova (para fixar): sempre verifique se há fator comum que zera tanto numerador quanto denominador — cancele e avalie a expressão simplificada. Exemplo similar e rápido:
.