Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{(x+2)(x-3)}{(x-1)(x+2)}=

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to -2} \frac{(x+2)(x-3)}{(x-1)(x+2)}.
Informações dadas relevantes:
\text{a expressão é } \frac{(x+2)(x-3)}{(x-1)(x+2)}.ãé
Se eu substituir x=-2 diretamente, obtenho uma forma indeterminada:
\frac{(-2+2)(-2-3)}{(-2-1)(-2+2)}=\frac{0\cdot(-5)}{(-3)\cdot 0}=\frac{0}{0},
ou seja, a substituição direta dá 0/0, que é indeterminado. A pergunta continua sendo: qual é o limite quando x se aproxima de -2?

Passo 2

Conceito essencial (explicando devagar): quando ao substituir obtemos 0/0, isso indica uma indeterminação — muitas vezes os fatores que causam zero no numerador e denominador são comuns e podem ser simplificados. Se uma função racional tem um fator comum (x-a) no numerador e denominador, podemos cancelar esse fator para todas as x\neq a; como o limite depende apenas do comportamento quando x está próximo de a (mas não igual a a), podemos substituir por essa forma simplificada e calcular o limite nela. Essa situação chama-se descontinuidade removível.

Passo 3

Aplicando a ideia ao nosso caso: há o fator comum (x+2) no numerador e no denominador. Para x\neq -2 podemos simplificar:
\frac{(x+2)(x-3)}{(x-1)(x+2)}=\frac{x-3}{x-1},\qquad (x\neq -2).
Aqui eu cancelei (x+2). Observação importante: a igualdade entre as duas expressões vale para todo x diferente de -2. Para calcular o limite quando x\to -2 isso é suficiente, pois o limite olha só para valores próximos de -2, não para o valor no próprio ponto.

Passo 4

Agora calculamos o limite da função simplificada. A função \dfrac{x-3}{x-1} é uma função racional contínua em pontos onde o denominador não é zero; como para x=-2 o denominador vale -3\neq 0, podemos simplesmente substituir x=-2:
\lim_{x\to -2}\frac{x-3}{x-1}=\frac{-2-3}{-2-1}=\frac{-5}{-3}=\frac{5}{3}.
Portanto o limite procurado é \dfrac{5}{3}.

Passo 5

Dica rápida para a prova (para fixar): sempre verifique se há fator comum que zera tanto numerador quanto denominador — cancele e avalie a expressão simplificada. Exemplo similar e rápido: \lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x+2)=4.

Resposta

\dfrac{5}{3}

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