Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 3} \log (3 x+1)=

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 3} \log(3x+1).
Informações dadas: a função considerada é x\mapsto \log(3x+1) e o ponto de interesse é x=3. Não há mais dados (por ex., base do log), então mantemos a resposta em termos de \log.

Passo 2

Verificação de domínio: a função \log(t) só está definida para argumentos t>0. Aqui o argumento é 3x+1. Avaliando em x=3 temos
3\cdot 3 + 1 = 10,
que é positivo, ou seja, \log(3x+1) está bem definida perto de x=3. Isso é importante porque só faz sentido falar do limite se a expressão existe em pontos arbitrariamente próximos de 3.

Passo 3

Propriedade de continuidade usada (explicada de leve): a função \log(t) é contínua para todo t>0. Isso significa que, se uma sequência (ou função) t(x) tende a um valor L>0 quando x\to a, então
\lim_{x\to a} \log\big(t(x)\big) = \log\!\big(\lim_{x\to a} t(x)\big).
Em palavras: podemos “trocar” limite e \log quando o limite do argumento é um ponto do domínio da \log.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao nosso caso: primeiro calculamos o limite do argumento (uma função linear, contínua):
\lim_{x\to 3} (3x+1) = 3\cdot 3 + 1 = 10.
Como 10>0, podemos aplicar a continuidade da \log e obter
\lim_{x\to 3} \log(3x+1) = \log\!\big(\lim_{x\to 3} (3x+1)\big) = \log(10).

Resposta

\log(10)

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