Calcule os limites abaixo:
Passo 1
Temos que calcular o limite
O que o enunciado dá e pede:
- Dá a função racional cujo numerador é
e o denominador é . - Pede o valor do limite quando
tende a . - Informação relevante imediata: o denominador
vale em , então a expressão direta fica indefinida em . Não resolvemos ainda — apenas identificamos o pedido e os dados.
Passo 2
Entendendo o problema e a estratégia: quando ao substituir
obtemos uma forma do tipo
, dizemos que é uma forma indeterminada. Nesses casos precisamos manipular a expressão (fatorar, simplificar, ou usar outro método) para eliminar a indeterminação antes de avaliar o limite. Vou mostrar passo a passo como ver que é indeterminação e como resolvê-la por fatoração, que é um método simples e robusto aqui.
Passo 3
Verifiquemos o que acontece ao avaliar numerador e denominador em
.
Calculemos o numerador em
:
Portanto a expressão tem a forma indeterminada
. Isso confirma que precisamos manipular a expressão antes de substituir.
Passo 4
Método escolhido e por quê: vou usar fatoração do polinômio no numerador e simplificação com o fator
. Escolhi isso porque é o método mais direto para polinômios e não precisa de regra de l’Hôpital nem de cálculo de derivadas — é básico e rápido para provas sem calculadora.
Passo 5
Vamos dividir o polinômio
por
(pode ser feito por divisão polinomial ou por divisão sintética). Faço divisão sintética para ser mais enxuto:
Coeficientes do numerador:
(para
),
(para
),
(para
),
(termo constante).
Usando como ponto na sintética:
Usando
- Trago
para baixo. - Multiplico
por e obtenho ; somo a e obtenho . - Multiplico
por e obtenho ; somo a e obtenho . - Multiplico
por e obtenho ; somo a e obtenho (resto).
Isso mostra que a divisão dá quociente
e resto
. Logo
Passo 6
Fatore o quadrático
. Procuramos dois números cujo produto é
e soma é
: são
e
. Assim
Substituindo na fatoração anterior:
Passo 7
Voltemos à expressão do limite e simplifiquemos cancelando o fator comum
(válido para
, ou seja, para valores próximos de
que usamos ao calcular o limite):
Agora que a indeterminação foi removida, podemos usar a continuidade do polinômio resultante para avaliar o limite simplesmente substituindo
.
Passo 8
Substituímos
em
:
Portanto o limite existe e vale
.
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