Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-3 x^{2}+4}{x-2}=

Passo 1

Temos que calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{3}-3x^{2}+4}{x-2}.
O que o enunciado dá e pede:
  • Dá a função racional cujo numerador é x^{3}-3x^{2}+4 e o denominador é x-2.
  • Pede o valor do limite quando x tende a 2.
  • Informação relevante imediata: o denominador x-2 vale 0 em x=2, então a expressão direta \frac{\text{numerador}}{x-2} fica indefinida em x=2. Não resolvemos ainda — apenas identificamos o pedido e os dados.

Passo 2

Entendendo o problema e a estratégia: quando ao substituir x=2 obtemos uma forma do tipo \frac{0}{0}, dizemos que é uma forma indeterminada. Nesses casos precisamos manipular a expressão (fatorar, simplificar, ou usar outro método) para eliminar a indeterminação antes de avaliar o limite. Vou mostrar passo a passo como ver que é indeterminação e como resolvê-la por fatoração, que é um método simples e robusto aqui.

Passo 3

Verifiquemos o que acontece ao avaliar numerador e denominador em x=2.
\text{denominador em }x=2:\; 2-2=0.
Calculemos o numerador em x=2:
2^{3}-3\cdot 2^{2}+4 = 8 - 3\cdot 4 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0.
Portanto a expressão tem a forma indeterminada \frac{0}{0}. Isso confirma que precisamos manipular a expressão antes de substituir.

Passo 4

Método escolhido e por quê: vou usar fatoração do polinômio no numerador e simplificação com o fator x-2. Escolhi isso porque é o método mais direto para polinômios e não precisa de regra de l’Hôpital nem de cálculo de derivadas — é básico e rápido para provas sem calculadora.

Passo 5

Vamos dividir o polinômio x^{3}-3x^{2}+4 por x-2 (pode ser feito por divisão polinomial ou por divisão sintética). Faço divisão sintética para ser mais enxuto:
Coeficientes do numerador: 1 (para x^{3}), -3 (para x^{2}), 0 (para x), 4 (termo constante).
Usando 2 como ponto na sintética:
  • Trago 1 para baixo.
  • Multiplico 1 por 2 e obtenho 2; somo a -3 e obtenho -1.
  • Multiplico -1 por 2 e obtenho -2; somo a 0 e obtenho -2.
  • Multiplico -2 por 2 e obtenho -4; somo a 4 e obtenho 0 (resto).
Isso mostra que a divisão dá quociente x^{2}-x-2 e resto 0. Logo
x^{3}-3x^{2}+4=(x-2)\bigl(x^{2}-x-2\bigr).

Passo 6

Fatore o quadrático x^{2}-x-2. Procuramos dois números cujo produto é -2 e soma é -1: são -2 e 1. Assim
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
Substituindo na fatoração anterior:
x^{3}-3x^{2}+4=(x-2)(x-2)(x+1)=(x-2)^{2}(x+1).

Passo 7

Voltemos à expressão do limite e simplifiquemos cancelando o fator comum x-2 (válido para x\neq 2, ou seja, para valores próximos de 2 que usamos ao calcular o limite):
\frac{x^{3}-3x^{2}+4}{x-2}=\frac{(x-2)^{2}(x+1)}{x-2}=(x-2)(x+1),\qquad \text{para }x\neq 2.
Agora que a indeterminação foi removida, podemos usar a continuidade do polinômio resultante para avaliar o limite simplesmente substituindo x=2.

Passo 8

Substituímos x=2 em (x-2)(x+1):
(2-2)(2+1)=0\cdot 3=0.
Portanto o limite existe e vale 0.

Resposta

0

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