Justifique a inexistência dos seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para justificar a inexistência do limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A função considerada é
. - Essa função não está definida em
porque o denominador fica zero em . - A tarefa é justificar por que o limite quando
se aproxima de (dos dois lados) não existe.
Passo 2
Recordando o conceito que vamos usar: o limite
existe e é igual a
(um número real) somente se os dois limites laterais existem e são iguais:
Se os limites laterais forem diferentes (incluindo divergirem para sinais opostos ou para
), então o limite bilateral
não existe.
Passo 3
Vamos analisar o sinal do denominador e o comportamento da função ao nos aproximarmos de
pela direita e pela esquerda.
- Se
(aproximação pela direita), então . Assim é positivo e, à medida que se aproxima de por valores maiores, fica um número positivo muito pequeno, então fica um número muito grande e positivo. Intuitivamente isso sugere
- Se
(aproximação pela esquerda), então . Escrevendo , temos
Quando
se aproxima de
por valores menores,
é positivo e muito pequeno, então
é um número muito grande em módulo, mas negativo. Isso sugere
Passo 4
Agora provamos de forma rigorosa (no sentido de limites infinitos): escolhemos um número arbitrário
e mostramos que podemos forçar a função a ficar maior que
à direita de
e menor que
à esquerda de
.
- Caso direita (
). Queremos escolher tal que, se , então . A condição é equivalente a
pois
aqui. Assim basta tomar
. Logo, para qualquer
existe
(precisamente
) com a propriedade desejada, o que demonstra que
- Caso esquerda (
). Queremos tal que, se , então . Usando , a condição é equivalente a , isto é
Então, novamente, tomando
temos que para
vale
. Isso prova que
Passo 5
Como mostramos rigorosamente que
os limites laterais existem como limites infinitos, mas são diferentes entre si (um vai para
e o outro para
). Portanto o limite bilateral
não pode existir como número real.