Justifique a inexistência dos seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{3}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede para justificar a inexistência do limite
\lim_{x\to 2} \frac{3}{x-2}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função considerada é f(x)=\dfrac{3}{x-2}.
  • Essa função não está definida em x=2 porque o denominador fica zero em x=2.
  • A tarefa é justificar por que o limite quando x se aproxima de 2 (dos dois lados) não existe.

Passo 2

Recordando o conceito que vamos usar: o limite \lim_{x\to 2} f(x) existe e é igual a L (um número real) somente se os dois limites laterais existem e são iguais:
\lim_{x\to 2^+} f(x)=\lim_{x\to 2^-} f(x)=L.
Se os limites laterais forem diferentes (incluindo divergirem para sinais opostos ou para \pm\infty), então o limite bilateral \lim_{x\to 2} f(x) não existe.

Passo 3

Vamos analisar o sinal do denominador e o comportamento da função ao nos aproximarmos de 2 pela direita e pela esquerda.
  • Se x>2 (aproximação pela direita), então x-2>0. Assim f(x)=\dfrac{3}{x-2} é positivo e, à medida que x se aproxima de 2 por valores maiores, x-2 fica um número positivo muito pequeno, então \dfrac{3}{x-2} fica um número muito grande e positivo. Intuitivamente isso sugere
\lim_{x\to 2^+} \frac{3}{x-2}=+\infty.
  • Se x<2 (aproximação pela esquerda), então x-2<0. Escrevendo 2-x>0, temos
\frac{3}{x-2}=-\frac{3}{2-x}.
Quando x se aproxima de 2 por valores menores, 2-x é positivo e muito pequeno, então -\dfrac{3}{2-x} é um número muito grande em módulo, mas negativo. Isso sugere
\lim_{x\to 2^-} \frac{3}{x-2}=-\infty.

Passo 4

Agora provamos de forma rigorosa (no sentido de limites infinitos): escolhemos um número arbitrário M>0 e mostramos que podemos forçar a função a ficar maior que M à direita de 2 e menor que -M à esquerda de 2.
  • Caso direita ( x\to 2^+). Queremos escolher \delta>0 tal que, se 0<x-2<\delta, então \dfrac{3}{x-2}>M. A condição \dfrac{3}{x-2}>M é equivalente a
x-2<\frac{3}{M},
pois x-2>0 aqui. Assim basta tomar \delta=\dfrac{3}{M}. Logo, para qualquer M>0 existe \delta>0 (precisamente \dfrac{3}{M}) com a propriedade desejada, o que demonstra que
\lim_{x\to 2^+} \frac{3}{x-2}=+\infty.
  • Caso esquerda ( x\to 2^-). Queremos \delta>0 tal que, se 0<2-x<\delta, então \dfrac{3}{x-2}< -M. Usando \dfrac{3}{x-2} = -\dfrac{3}{2-x}, a condição -\dfrac{3}{2-x}< -M é equivalente a \dfrac{3}{2-x}>M, isto é
2-x<\frac{3}{M}.
Então, novamente, tomando \delta=\dfrac{3}{M} temos que para 0<2-x<\delta vale \dfrac{3}{x-2}< -M. Isso prova que
\lim_{x\to 2^-} \frac{3}{x-2}=-\infty.

Passo 5

Como mostramos rigorosamente que
\lim_{x\to 2^+} \frac{3}{x-2}=+\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to 2^-} \frac{3}{x-2}=-\infty,
os limites laterais existem como limites infinitos, mas são diferentes entre si (um vai para +\infty e o outro para -\infty). Portanto o limite bilateral \lim_{x\to 2} \dfrac{3}{x-2} não pode existir como número real.

Resposta

\lim_{x\to 2}\dfrac{3}{x-2} não existe, pois \lim_{x\to 2^+}\dfrac{3}{x-2}=+\infty e \lim_{x\to 2^-}\dfrac{3}{x-2}=-\infty.

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