(3.5) Esboce a curva da função
.
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce a curva da função
.
Informações dadas (explicitamente pela fórmula):
Informações dadas (explicitamente pela fórmula):
- A função é a razão entre
(numerador) e (denominador). - Não há outros dados; devo estudar a função e desenhar seu gráfico (esboço).
Perguntas que preciso responder para esboçar com segurança:
- Qual é o domínio de
? - Onde há assíntotas (verticais e assíntota “polinomial”)?
- Quais são as interseções com os eixos?
- Onde
cresce/decresce e onde tem extremos? - Onde a função é côncava para cima/baixo e onde tem pontos de inflexão?
- Com essas informações, dar um esboço plausível da curva.
Passo 2
Determinar o domínio e assíntota vertical.
Domínio: a função tem denominador
, logo a divisão é inválida em
. Portanto
Assíntota vertical: estudar os limites laterais em
. Como
tende a
quando
, e o denominador tende a
mudando de sinal, temos
Logo existe uma assíntota vertical em
.
Explicação curta (por quê): quando o denominador vai para zero e o numerador para um número diferente de zero, a fração explode para
dependendo do sinal do denominador.
Passo 3
Encontrar a forma polinomial mais útil para estudar o comportamento para grandes
(divisão polinomial).
Fazer a divisão de
por
. Dividindo:
Assim podemos escrever
Significado: a função é igual a um polinômio
mais um termo que tende a zero quando
. Portanto a curva tem uma “assíntota polinomial” dada por
no sentido que
Observação didática: para funções racionais em que o grau do numerador excede o do denominador em
, a “assíntota” pode ser um polinômio de grau
. Aqui
, então a assíntota é uma parábola.
Passo 4
Interseções com os eixos (zeros e valor em
).
Zero(s) de
: resolver
equivale a
, desde que o denominador não anule. Assim
é a única raiz. Logo a função corta o eixo
em
.
Interseção com o eixo
: é
. Portanto o ponto
é interseção com ambos eixos.
Comentário simples: o fato de o numerador ser
dá raiz em
(multiplicidade 3 no numerador), mas o denominador não zera em
, então é mesmo raiz da função.
Passo 5
Derivada primeira: monotonicidade e pontos críticos.
Vou usar a regra do quociente. Para
com
e
,
Aqui
e
. Então
Simplificando o numerador:
Portanto
Análise do sinal de
:
- O denominador
é sempre positivo para . - O fator
é sempre não-negativo e só zera em . - O fator
muda de sinal em .
Assim o sinal de
é determinado por
exceto nos pontos onde
(derivada zero) e
(não está no domínio). Conclusões:
- Para
(e ) temos ⇒ . Logo é decrescente em cada intervalo , e . - Em
, mas o sinal não muda (antes e depois de a derivada é negativa), logo não é extremo, é um ponto crítico de tangente horizontal. - Para
, ⇒ . Logo crescente em . - Em
, e o sinal muda de negativo para positivo ⇒ ponto de mínimo local em .
Calcular o valor em
:
Logo há um mínimo local em
.
Resumo monotonicidade: f decrescente em
e em
; crescente em
. Ponto crítico sem extremum em
e mínimo local em
.
Passo 6
Derivada segunda: concavidade e pontos de inflexão.
A partir de
, calculemos
(usando regra do quociente novamente ou product+chain). Resulta (calculei passo a passo):
Observações importantes sobre este resultado:
- O denominador
para . - O fator
é um polinômio quadrático com discriminante , portanto é sempre positivo para todo . - Assim o sinal de
é dado pelo sinal do produto (o não altera o sinal).
Portanto:
- Para
: e ⇒ ⇒ ⇒ concavidade para cima em . - Para
: , ⇒ ⇒ ⇒ concavidade para baixo em . - Para
: , ⇒ ⇒ ⇒ concavidade para cima em .
Pontos de inflexão: são pontos onde
e há troca de concavidade. Aqui
em
(pois fator
) e em
(fator
), mas
não pertence ao domínio. Em
há troca de concavidade (de cima para baixo), então
é ponto de inflexão. Valor:
, logo ponto de inflexão em
.
Comentário intuitivo:
é tangente horizontal e também ponto de inflexão — a curva “pára” horizontalmente e muda de curvatura ali.
Passo 7
Comportamento para grandes
e relação com a assíntota polinomial.
Sabendo que
quando
temos
, então
se aproxima da parábola
. Mais informações úteis:
- Para
o termo , então (a função fica ligeiramente acima da parábola, aproximando-se dela conforme cresce). - Para
o termo , então (fica ligeiramente abaixo da parábola).
Comportamento extremo:
- Quando
, (a parábola principal domina e vai a ). - Quando
, também (parábola com coeficiente positivo).
Passo 8
Pontos e valores úteis para colocar no esboço (alguns pontos de amostra).
Alguns cálculos rápidos para guiar o desenho:
-
(ponto importante). -
. -
. -
. -
(mínimo local). -
; compare com a parábola em : , diferença (coerente).
Esses pontos ajudam a posicionar a curva: por exemplo, entre
e
a função decresce vindo de
e passa em
com tangente horizontal; entre
e
continua decrescendo e cai para
quando
; para
sai de
em
, decresce até
onde atinge
e depois cresce para
.
Passo 9
Instruções práticas para fazer o esboço (passo a passo no papel).
- Desenhe os eixos
e . - Marque a assíntota vertical
como uma linha tracejada vertical (a curva tende a à direita e à esquerda). - Desenhe a parábola
(assíntota polinomial). Ela é o esqueleto que a curva seguirá para grandes . - Coloque pontos-chave:
(ponto de inflexão e tangente horizontal), alguns pontos amostra como , , , e o mínimo local . - Para
: trace a curva vindo de (à esquerda) decrescendo, passando por , por com tangente horizontal, por e indo para quando se aproxima de . A curva fica abaixo da parábola nessa região. - Para
: comece da em , desça (ainda acima da parábola) até o mínimo em e depois suba seguindo a parábola para . - Observe a concavidade: concava para cima em
e em ; côncava para baixo em . Ajuste o traço conforme esses sinais de curvatura.
Dica amiga: a “parábola-assíntota” ajuda a posicionar a curva para valores grandes; perto de
pense só no termo
que domina e causa a explosão.
Resposta
Esboço da curva de
com as características principais:
- Domínio:
. - Assíntota vertical:
, com e . - Assíntota polinomial (parabólica):
, pois e quando . - Interseção com os eixos:
⇒ ponto . - Crescimento/decrescimento:
⇒ decrescente para (exceto descontinuidade em ), crescente para . - Pontos críticos:
(tangente horizontal, não é extremo) e (mínimo local), com . - Concavidade:
indica concavidade para cima em e , e concavidade para baixo em . Ponto de inflexão em . - Valores de referência:
, , , .
Com esses elementos, desenhar: à esquerda a curva vem de
, decresce, passa por
(inflection + tangente horizontal), continua decrescendo até
quando se aproxima de
; à direita, sai de
em
, desce até o mínimo em
e sobe seguindo a parábola-assíntota para
.