(3.5) Esboce a curva da função f(x)=\frac{x^{3}}{x-2}.

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce a curva da função f(x)=\dfrac{x^{3}}{x-2}.
Informações dadas (explicitamente pela fórmula):
  • A função é a razão entre x^{3} (numerador) e x-2 (denominador).
  • Não há outros dados; devo estudar a função e desenhar seu gráfico (esboço).
Perguntas que preciso responder para esboçar com segurança:
  • Qual é o domínio de f?
  • Onde há assíntotas (verticais e assíntota “polinomial”)?
  • Quais são as interseções com os eixos?
  • Onde f cresce/decresce e onde tem extremos?
  • Onde a função é côncava para cima/baixo e onde tem pontos de inflexão?
  • Com essas informações, dar um esboço plausível da curva.

Passo 2

Determinar o domínio e assíntota vertical.
Domínio: a função tem denominador x-2, logo a divisão é inválida em x=2. Portanto
\text{Dom}(f)=(-\infty,2)\cup(2,\infty).
Assíntota vertical: estudar os limites laterais em x\to2^\pm. Como x^{3} tende a 8 quando x\to2, e o denominador tende a 0 mudando de sinal, temos
\lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^-}\frac{x^3}{x-2}=-\infty, \qquad \lim_{x\to2^+}f(x)=\lim_{x\to2^+}\frac{x^3}{x-2}=+\infty.
Logo existe uma assíntota vertical em x=2.
Explicação curta (por quê): quando o denominador vai para zero e o numerador para um número diferente de zero, a fração explode para \pm\infty dependendo do sinal do denominador.

Passo 3

Encontrar a forma polinomial mais útil para estudar o comportamento para grandes |x| (divisão polinomial).
Fazer a divisão de x^{3} por x-2. Dividindo:
x^{3}\div(x-2)=x^{2}+2x+4+\frac{8}{x-2}.
Assim podemos escrever
f(x)=\frac{x^{3}}{x-2}=x^{2}+2x+4+\frac{8}{x-2}.
Significado: a função é igual a um polinômio x^{2}+2x+4 mais um termo que tende a zero quando |x|\to\infty. Portanto a curva tem uma “assíntota polinomial” dada por
y=x^{2}+2x+4,
no sentido que
\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)- (x^{2}+2x+4)\bigr)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{8}{x-2}=0.
Observação didática: para funções racionais em que o grau do numerador excede o do denominador em k\ge1, a “assíntota” pode ser um polinômio de grau k. Aqui k=2, então a assíntota é uma parábola.

Passo 4

Interseções com os eixos (zeros e valor em x=0).
Zero(s) de f: resolver f(x)=0 equivale a x^{3}=0, desde que o denominador não anule. Assim
x=0
é a única raiz. Logo a função corta o eixo x em (0,0).
Interseção com o eixo y: é f(0)=0. Portanto o ponto (0,0) é interseção com ambos eixos.
Comentário simples: o fato de o numerador ser x^{3} dá raiz em 0 (multiplicidade 3 no numerador), mas o denominador não zera em 0, então é mesmo raiz da função.

Passo 5

Derivada primeira: monotonicidade e pontos críticos.
Vou usar a regra do quociente. Para f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u=x^{3} e v=x-2,
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u'(x)=3x^{2} e v'(x)=1. Então
f'(x)=\frac{3x^{2}(x-2)-x^{3}}{(x-2)^{2}}.
Simplificando o numerador:
3x^{2}(x-2)-x^{3}=3x^{3}-6x^{2}-x^{3}=2x^{3}-6x^{2}=2x^{2}(x-3).
Portanto
f'(x)=\frac{2x^{2}(x-3)}{(x-2)^{2}}.
Análise do sinal de f':
  • O denominador (x-2)^{2} é sempre positivo para x\neq2.
  • O fator 2x^{2} é sempre não-negativo e só zera em x=0.
  • O fator (x-3) muda de sinal em x=3.
Assim o sinal de f' é determinado por (x-3) exceto nos pontos onde x=0 (derivada zero) e x=2 (não está no domínio). Conclusões:
  • Para x<3 (e x\neq0,2) temos x-3<0 f'(x)<0. Logo f é decrescente em cada intervalo (-\infty,0), (0,2) e (2,3).
  • Em x=0, f'(0)=0 mas o sinal não muda (antes e depois de 0 a derivada é negativa), logo x=0 não é extremo, é um ponto crítico de tangente horizontal.
  • Para x>3, x-3>0 f'(x)>0. Logo crescente em (3,\infty).
  • Em x=3, f'(3)=0 e o sinal muda de negativo para positivo ⇒ ponto de mínimo local em x=3.
Calcular o valor em x=3:
f(3)=\frac{3^{3}}{3-2}=\frac{27}{1}=27.
Logo há um mínimo local em (3,27).
Resumo monotonicidade: f decrescente em (-\infty,2) e em (2,3); crescente em (3,\infty). Ponto crítico sem extremum em x=0 e mínimo local em x=3.

Passo 6

Derivada segunda: concavidade e pontos de inflexão.
A partir de f'(x)=\dfrac{2x^{2}(x-3)}{(x-2)^{2}}, calculemos f''(x) (usando regra do quociente novamente ou product+chain). Resulta (calculei passo a passo):
f''(x)=\frac{2x(x-2)\bigl(x^{2}-6x+12\bigr)}{(x-2)^{4}}.
Observações importantes sobre este resultado:
  • O denominador (x-2)^{4}>0 para x\neq2.
  • O fator x^{2}-6x+12 é um polinômio quadrático com discriminante \Delta=36-48=-12<0, portanto é sempre positivo para todo x.
  • Assim o sinal de f''(x) é dado pelo sinal do produto 2x(x-2) (o 2 não altera o sinal).
Portanto:
  • Para x<0: x<0 e x-2<0 x(x-2)>0 f''(x)>0 ⇒ concavidade para cima em (-\infty,0).
  • Para 0<x<2: x>0, x-2<0 x(x-2)<0 f''(x)<0 ⇒ concavidade para baixo em (0,2).
  • Para x>2: x>0, x-2>0 x(x-2)>0 f''(x)>0 ⇒ concavidade para cima em (2,\infty).
Pontos de inflexão: são pontos onde f''(x)=0 e há troca de concavidade. Aqui f''(x)=0 em x=0 (pois fator x) e em x=2 (fator x-2), mas x=2 não pertence ao domínio. Em x=0 há troca de concavidade (de cima para baixo), então x=0 é ponto de inflexão. Valor: f(0)=0, logo ponto de inflexão em (0,0).
Comentário intuitivo: x=0 é tangente horizontal e também ponto de inflexão — a curva “pára” horizontalmente e muda de curvatura ali.

Passo 7

Comportamento para grandes |x| e relação com a assíntota polinomial.
Sabendo que
f(x)=x^{2}+2x+4+\frac{8}{x-2},
quando x\to\pm\infty temos \dfrac{8}{x-2}\to0, então f(x) se aproxima da parábola y=x^{2}+2x+4. Mais informações úteis:
  • Para x>2 o termo \dfrac{8}{x-2}>0, então f(x)>x^{2}+2x+4 (a função fica ligeiramente acima da parábola, aproximando-se dela conforme x cresce).
  • Para x<2 o termo \dfrac{8}{x-2}<0, então f(x)<x^{2}+2x+4 (fica ligeiramente abaixo da parábola).
Comportamento extremo:
  • Quando x\to-\infty, f(x)\to+\infty (a parábola principal domina e vai a +\infty).
  • Quando x\to+\infty, f(x)\to+\infty também (parábola com coeficiente positivo).

Passo 8

Pontos e valores úteis para colocar no esboço (alguns pontos de amostra).
Alguns cálculos rápidos para guiar o desenho:
  • f(0)=0 (ponto importante).
  • f(1)=\dfrac{1}{-1}=-1.
  • f(-1)=\dfrac{-1}{-3}=\dfrac{1}{3}\approx0{,}33.
  • f(-2)=\dfrac{-8}{-4}=2.
  • f(3)=27 (mínimo local).
  • f(4)=\dfrac{64}{2}=32; compare com a parábola x^{2}+2x+4 em x=4: 16+8+4=28, diferença 4=\dfrac{8}{2} (coerente).
Esses pontos ajudam a posicionar a curva: por exemplo, entre -\infty e 0 a função decresce vindo de +\infty e passa em (0,0) com tangente horizontal; entre 0 e 2 continua decrescendo e cai para -\infty quando x\to2^-; para x>2 sai de +\infty em 2^+, decresce até x=3 onde atinge 27 e depois cresce para +\infty.

Passo 9

Instruções práticas para fazer o esboço (passo a passo no papel).
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque a assíntota vertical x=2 como uma linha tracejada vertical (a curva tende a +\infty à direita e -\infty à esquerda).
  3. Desenhe a parábola y=x^{2}+2x+4 (assíntota polinomial). Ela é o esqueleto que a curva seguirá para grandes |x|.
  4. Coloque pontos-chave: (0,0) (ponto de inflexão e tangente horizontal), alguns pontos amostra como (1,-1), (-1,1/3), (-2,2), e o mínimo local (3,27).
  5. Para x<2: trace a curva vindo de +\infty (à esquerda) decrescendo, passando por (-2,2), por (0,0) com tangente horizontal, por (1,-1) e indo para -\infty quando se aproxima de x=2^-. A curva fica abaixo da parábola nessa região.
  6. Para x>2: comece da +\infty em 2^+, desça (ainda acima da parábola) até o mínimo em (3,27) e depois suba seguindo a parábola para +\infty.
  7. Observe a concavidade: concava para cima em (-\infty,0) e em (2,\infty); côncava para baixo em (0,2). Ajuste o traço conforme esses sinais de curvatura.
Dica amiga: a “parábola-assíntota” ajuda a posicionar a curva para valores grandes; perto de x=2 pense só no termo \dfrac{8}{x-2} que domina e causa a explosão.

Resposta

Esboço da curva de f(x)=\dfrac{x^{3}}{x-2} com as características principais:
  • Domínio: (-\infty,2)\cup(2,\infty).
  • Assíntota vertical: x=2, com \lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty e \lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty.
  • Assíntota polinomial (parabólica): y=x^{2}+2x+4, pois f(x)=x^{2}+2x+4+\dfrac{8}{x-2} e \dfrac{8}{x-2}\to0 quando x\to\pm\infty.
  • Interseção com os eixos: f(0)=0 ⇒ ponto (0,0).
  • Crescimento/decrescimento: f'\!(x)=\dfrac{2x^{2}(x-3)}{(x-2)^{2}} ⇒ decrescente para x<3 (exceto descontinuidade em 2), crescente para x>3.
  • Pontos críticos: x=0 (tangente horizontal, não é extremo) e x=3 (mínimo local), com f(3)=27.
  • Concavidade: f''(x) indica concavidade para cima em (-\infty,0) e (2,\infty), e concavidade para baixo em (0,2). Ponto de inflexão em (0,0).
  • Valores de referência: f(1)=-1, f(-1)=1/3, f(-2)=2, f(4)=32.
Com esses elementos, desenhar: à esquerda a curva vem de +\infty, decresce, passa por (0,0) (inflection + tangente horizontal), continua decrescendo até -\infty quando se aproxima de x=2^-; à direita, sai de +\infty em 2^+, desce até o mínimo em (3,27) e sobe seguindo a parábola-assíntota para +\infty.

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