Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \arctan \left(e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \to +\infty} \arctan\!\bigl(e^{x}\bigr).
O conteúdo aqui é limite de função composta, usando o fato de que a exponencial cresce sem limite e que a função \arctan tende a \tfrac{\pi}{2} quando seu argumento vai para +\infty.

Passo 2

Primeiro, analisamos a parte interna da composição. Sabemos que
\lim_{x \to +\infty} e^{x} = +\infty,
porque a função exponencial cresce sem parar à medida que x aumenta.

Passo 3

Em seguida, lembramos que a função arco-tangente satisfaz
\lim_{y \to +\infty} \arctan(y) = \frac{\pi}{2}.
Isto ocorre pois o gráfico de \arctan se aproxima horizontalmente de y=\tfrac{\pi}{2} para argumentos muito grandes.

Passo 4

Como e^{x}\to+\infty quando x\to+\infty, podemos combinar os resultados e concluir que
\lim_{x \to +\infty} \arctan\!\bigl(e^{x}\bigr) = \lim_{y \to +\infty} \arctan(y) = \frac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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