Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \arctan \left(e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to+\infty}\arctan\bigl(e^{x}\bigr).
O conteúdo envolvido é limite de função composta, usando o fato de que a exponencial tende a +\infty e que a função \arctan tende a \pi/2 quando o argumento vai a +\infty.

Passo 2

Como a função exponencial cresce sem limite, temos
\lim_{x\to+\infty}e^{x}=+\infty.

Passo 3

A função \arctan é contínua e satisfaz
\lim_{t\to+\infty}\arctan(t)=\frac{\pi}{2}.
Logo, compondo os limites:
\lim_{x\to+\infty}\arctan\bigl(e^{x}\bigr) =\arctan\!\Bigl(\lim_{x\to+\infty}e^{x}\Bigr) =\arctan(+\infty) =\frac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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