Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \arcsin \left(\frac{x}{1-2 x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to+\infty}\arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{1-2x}\bigr).
O conteúdo aqui envolve limite de uma composição de funções — primeiro simplificamos o limite interno \tfrac{x}{1-2x} e, em seguida, usamos a continuidade de \arcsin em [-1,1].

Passo 2

Calcule o limite da função racional interna:
\frac{x}{1-2x} \;=\;\frac{x}{-2x\bigl(1-\tfrac1{2x}\bigr)} \;=\; \frac1{-2\bigl(1-\tfrac1{2x}\bigr)}.
À medida que x\to+\infty, \tfrac1{2x}\to0, logo
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{1-2x} =\frac1{-2\,(1-0)}=-\tfrac12.

Passo 3

Como \arcsin é contínua em todo o intervalo [-1,1] e -\tfrac12\in[-1,1], podemos trocar o limite interno pela aplicação de \arcsin:
\lim_{x\to+\infty}\arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{1-2x}\bigr) =\arcsin\!\bigl(\lim_{x\to+\infty}\tfrac{x}{1-2x}\bigr) =\arcsin\!\bigl(-\tfrac12\bigr).

Passo 4

Para avaliar \arcsin(-\tfrac12), lembramos que \arcsin(-y)=-\arcsin(y) e \arcsin(\tfrac12)=\tfrac{\pi}{6}. Portanto,
\arcsin\!\bigl(-\tfrac12\bigr) =-\arcsin\!\bigl(\tfrac12\bigr) =-\frac{\pi}{6}.

Resposta

-\frac{\pi}{6}

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