Calcule os limites abaixo:
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{x^{2} h+3 x h+h^{2}}{2 x h+5 h^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{h\to0}\frac{x^{2}h+3xh+h^{2}}{2xh+5h^{2}}
em que x é tratado como constante e h\to0. O conteúdo aqui é limite de uma expressão que gera indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Vamos usar fatoração em h, cancelamento e depois avaliar o limite.

Passo 2

Observe que tanto o numerador quanto o denominador têm fator comum h. Fatorando:
x^{2}h+3xh+h^{2}=h\bigl(x^{2}+3x+h\bigr),
2xh+5h^{2}=h\bigl(2x+5h\bigr).

Passo 3

Como para h\neq0 podemos cancelar h, a expressão vira
\frac{x^{2}h+3xh+h^{2}}{2xh+5h^{2}} =\frac{h\,(x^{2}+3x+h)}{h\,(2x+5h)} =\frac{x^{2}+3x+h}{2x+5h}.

Passo 4

Agora tomamos o limite h\to0 na forma simplificada. Se x\neq0, basta substituir h=0:
\lim_{h\to0}\frac{x^{2}+3x+h}{2x+5h} =\frac{x^{2}+3x}{2x} =\frac{x(x+3)}{2x} =\frac{x+3}{2}.

Passo 5

Se x=0, a forma simplificada leva a \tfrac{0+0+ h}{0+5h}=\tfrac{h}{5h}=\tfrac15 para h\neq0. Logo
\lim_{h\to0}\frac{0^{2}h+3\cdot0\cdot h+h^{2}}{2\cdot0\cdot h+5h^{2}} =\frac15.

Resposta

Para x\neq0: \displaystyle\frac{x+3}{2}.
Para x=0: \displaystyle\frac15.

Exercícios relacionados