Calcule os limites abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite quando
tende a
da expressão
Informações dadas:
Pergunta: qual é o valor do limite
?
Passo 2
Primeira observação intuitiva (sem resolver ainda): para
grande,
cresce muito mais rápido que
, então esperamos que a diferença tenda a
. Agora vamos fazer isso de forma algébrica e rigorosa usando a técnica da racionalização (multiplicar por conjugado) para tornar o comportamento assintótico claro.
Passo 3
Multiplicamos e dividimos por
— que é o conjugado de
— para escrever a expressão como uma fração mais manejável:
Passo 4
Calcule o numerador pelo produto de conjugados:
Portanto
Passo 5
Para estudar o limite quando
, divido numerador e denominador por
(isso ajuda a ver os termos dominantes):
Passo 6
Agora analiso o comportamento de cada termo quando
:
-
. - Para
escrevo , que tende a quando .
Logo o denominador da fração tende a
, e o numerador tende a
, que cresce sem limite (tende a
) porque tem o termo linear
.
Passo 7
Como o numerador tende a
e o denominador tende a
(positivo), a fração tende a
. Portanto