Calcule os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow+\infty}(x-2 \sqrt{2+x})

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando x tende a +\infty da expressão
x-2\sqrt{2+x}.
Informações dadas:
\text{expressão} = x-2\sqrt{2+x},\qquad x\to +\infty.ã
Pergunta: qual é o valor do limite \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(x-2\sqrt{2+x}\big)?

Passo 2

Primeira observação intuitiva (sem resolver ainda): para x grande, x cresce muito mais rápido que \sqrt{x}, então esperamos que a diferença tenda a +\infty. Agora vamos fazer isso de forma algébrica e rigorosa usando a técnica da racionalização (multiplicar por conjugado) para tornar o comportamento assintótico claro.

Passo 3

Multiplicamos e dividimos por x+2\sqrt{2+x} — que é o conjugado de x-2\sqrt{2+x} — para escrever a expressão como uma fração mais manejável:
x-2\sqrt{2+x} = \frac{\big(x-2\sqrt{2+x}\big)\big(x+2\sqrt{2+x}\big)}{x+2\sqrt{2+x}}.

Passo 4

Calcule o numerador pelo produto de conjugados:
\big(x-2\sqrt{2+x}\big)\big(x+2\sqrt{2+x}\big) = x^2 - \big(2\sqrt{2+x}\big)^2 = x^2 - 4(2+x).
Portanto
x-2\sqrt{2+x} = \frac{x^2 - 4(x+2)}{x + 2\sqrt{2+x}} = \frac{x^2 -4x -8}{x + 2\sqrt{2+x}}.

Passo 5

Para estudar o limite quando x\to+\infty, divido numerador e denominador por x (isso ajuda a ver os termos dominantes):
\frac{x^2 -4x -8}{x + 2\sqrt{2+x}} = \frac{\dfrac{x^2 -4x -8}{x}}{\dfrac{x + 2\sqrt{2+x}}{x}} = \frac{x -4 - \dfrac{8}{x}}{\,1 + 2\dfrac{\sqrt{2+x}}{x}\,}.

Passo 6

Agora analiso o comportamento de cada termo quando x\to+\infty:
  • \dfrac{8}{x}\to 0.
  • Para \dfrac{\sqrt{2+x}}{x} escrevo \dfrac{\sqrt{2+x}}{x} = \dfrac{\sqrt{x}\sqrt{1+2/x}}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}\sqrt{1+\dfrac{2}{x}}, que tende a 0 quando x\to+\infty.
Logo o denominador da fração tende a 1+2\cdot 0 = 1, e o numerador tende a x-4-0, que cresce sem limite (tende a +\infty) porque tem o termo linear x.

Passo 7

Como o numerador tende a +\infty e o denominador tende a 1 (positivo), a fração tende a +\infty. Portanto
\lim_{x\to+\infty}\big(x-2\sqrt{2+x}\big)=+\infty.

Resposta

+\infty

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