Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
,
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial com valor inicial dado. Dados fornecidos:
Pergunta: qual é a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial?
Passo 2
Vamos reconhecer a forma da equação e escolher um método. A equação está na forma linear de primeira ordem. A forma padrão é
onde
e
são funções de
. Aqui reescrevemos a equação como
ou seja,
e
. O método mais direto e elementar para resolver essa equação é o fator integrante (integrating factor), que é simples e rápido para coeficientes constantes. Vou usar esse método porque é o mais básico e fácil de aplicar numa prova.
Passo 3
Explicação do método do fator integrante: para a equação
definimos o fator integrante
por
A motivação é que multiplicando a equação por
obtemos no lado esquerdo a derivada do produto
, pois
Se
(o que ocorre quando
), então
e a equação multiplica-se para uma forma integrável diretamente:
Passo 4
Calcular o fator integrante para nosso caso. Temos
, então
Verificação rápida:
, como esperado.
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
. Isso dá
No lado direito
. No lado esquerdo, pelas contas do passo anterior, reconhecemos a derivada do produto:
Expliquei antes por que isso funciona: porque
, que é exatamente o lado esquerdo.
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
(mais constante), e do lado direito é
. Assim
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Isolamos
multiplicando por
:
Esse é o general solution (a família de soluções), com
indefinido até usarmos a condição inicial.
Passo 8
Aplicar a condição inicial
. Substituindo
:
Pelo enunciado
, portanto
.
Passo 9
Substituindo
na solução geral obtemos a solução particular:
Verificação rápida (opcional): calcule
e veja que
. De fato,
e
Tudo confere.