Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^{\prime}-2 y=e^{2 t},
y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial com valor inicial dado. Dados fornecidos:
y' - 2y = e^{2t},
y(0)=2.
Pergunta: qual é a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial?

Passo 2

Vamos reconhecer a forma da equação e escolher um método. A equação está na forma linear de primeira ordem. A forma padrão é
y' + p(t)\,y = g(t),
onde p(t) e g(t) são funções de t. Aqui reescrevemos a equação como
y' + (-2)\,y = e^{2t},
ou seja, p(t)=-2 e g(t)=e^{2t}. O método mais direto e elementar para resolver essa equação é o fator integrante (integrating factor), que é simples e rápido para coeficientes constantes. Vou usar esse método porque é o mais básico e fácil de aplicar numa prova.

Passo 3

Explicação do método do fator integrante: para a equação
y' + p(t)\,y = g(t),
definimos o fator integrante \mu(t) por
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}.
A motivação é que multiplicando a equação por \mu(t) obtemos no lado esquerdo a derivada do produto \mu(t)y(t), pois
\big(\mu(t) y(t)\big)'=\mu(t)\,y'(t)+\mu'(t)\,y(t).
Se \mu'(t)=\mu(t)p(t) (o que ocorre quando \mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}), então
\big(\mu y\big)'=\mu\big(y'+p(t)y\big),
e a equação multiplica-se para uma forma integrável diretamente:
\big(\mu y\big)'=\mu g(t).

Passo 4

Calcular o fator integrante para nosso caso. Temos p(t)=-2, então
\mu(t)=e^{\int -2\,dt}=e^{-2t}.
Verificação rápida: \mu'(t)=-2e^{-2t}=\mu(t)\,p(t), como esperado.

Passo 5

Multiplicamos a equação original por \mu(t)=e^{-2t}. Isso dá
e^{-2t}y' - 2e^{-2t}y = e^{-2t}e^{2t}.
No lado direito e^{-2t}e^{2t}=1. No lado esquerdo, pelas contas do passo anterior, reconhecemos a derivada do produto:
\big(e^{-2t}y\big)' = 1.
Expliquei antes por que isso funciona: porque \big(e^{-2t}y\big)'=e^{-2t}y' + (-2e^{-2t})y, que é exatamente o lado esquerdo.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a t:
\int \big(e^{-2t}y\big)'\,dt = \int 1\,dt.
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^{-2t}y (mais constante), e do lado direito é t + C. Assim
e^{-2t}y = t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Isolamos y multiplicando por e^{2t}:
y(t) = e^{2t}\big(t + C\big) = t e^{2t} + C e^{2t}.
Esse é o general solution (a família de soluções), com C indefinido até usarmos a condição inicial.

Passo 8

Aplicar a condição inicial y(0)=2. Substituindo t=0:
y(0) = 0\cdot e^{0} + C e^{0} = C.
Pelo enunciado y(0)=2, portanto C=2.

Passo 9

Substituindo C=2 na solução geral obtemos a solução particular:
y(t) = e^{2t}\big(t+2\big).
Verificação rápida (opcional): calcule y' e veja que y' - 2y = e^{2t}. De fato,
y'(t)=2e^{2t}(t+2)+e^{2t}=e^{2t}(2t+5),
e
y'(t)-2y(t)=e^{2t}(2t+5)-2e^{2t}(t+2)=e^{2t}.
Tudo confere.

Resposta

(t+2)e^{2t}

Exercícios relacionados