Passo 1
O problema pede calcular o limite
Informações dadas:
Queremos determinar o comportamento (valor finito ou infinito) dessa expressão quando
tende a
.
Passo 2
Vamos tentar simplificar a expressão usando a técnica da conjugada. A ideia é eliminar a raiz no numerador multiplicando numerador e denominador pela soma conjugada
. Isso é uma álgebra simples que evita indeterminações e costuma facilitar limites com raízes.
Multiplicando por
obtemos:
Passo 3
Calculando o numerador:
Portanto a expressão simplifica-se para
Passo 4
Agora vamos estudar o denominador quando
. É útil escrever a raiz em função de
:
Para
temos
(pois
é negativo), então
Substituindo no denominador:
Passo 5
A expressão original fica então
Para simplificar
podemos usar a identidade
com
. Assim
Substituindo:
(Outra forma de ver isso é multiplicar e simplificar; o resultado é o mesmo.)
Passo 6
Agora avaliamos o limite a partir da última forma. Quando
temos:
pois
. Portanto o produto
Assim a expressão diverge para
quando
.