\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)

Passo 1

O problema pede calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right).
Informações dadas:
\text{expressão: }\sqrt{x^{2}+1}-x,\qquad \text{ponto de interesse: }x\to -\infty.ã
Queremos determinar o comportamento (valor finito ou infinito) dessa expressão quando x tende a -\infty.

Passo 2

Vamos tentar simplificar a expressão usando a técnica da conjugada. A ideia é eliminar a raiz no numerador multiplicando numerador e denominador pela soma conjugada \sqrt{x^{2}+1}+x. Isso é uma álgebra simples que evita indeterminações e costuma facilitar limites com raízes.
Multiplicando por \dfrac{\sqrt{x^{2}+1}+x}{\sqrt{x^{2}+1}+x} obtemos:
\sqrt{x^{2}+1}-x = \frac{\big(\sqrt{x^{2}+1}-x\big)\big(\sqrt{x^{2}+1}+x\big)}{\sqrt{x^{2}+1}+x} = \frac{(\sqrt{x^{2}+1})^{2}-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}+x}.

Passo 3

Calculando o numerador:
(\sqrt{x^{2}+1})^{2}-x^{2}=x^{2}+1-x^{2}=1.
Portanto a expressão simplifica-se para
\sqrt{x^{2}+1}-x=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}.

Passo 4

Agora vamos estudar o denominador quando x\to -\infty. É útil escrever a raiz em função de |x|:
\sqrt{x^{2}+1}=\lvert x\rvert\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}.
Para x\to -\infty temos \lvert x\rvert=-x (pois x é negativo), então
\sqrt{x^{2}+1}=-x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}.
Substituindo no denominador:
\sqrt{x^{2}+1}+x=-x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+x=-x\Big(\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}-1\Big).

Passo 5

A expressão original fica então
\sqrt{x^{2}+1}-x=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x} =\frac{1}{-x\big(\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}-1\big)}.
Para simplificar \sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}-1 podemos usar a identidade
\sqrt{1+u}-1=\frac{u}{\sqrt{1+u}+1},
com u=\dfrac{1}{x^{2}}. Assim
\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}-1=\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+1}.
Substituindo:
\sqrt{x^{2}+1}-x =\frac{1}{-x\cdot\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+1}} =\frac{1}{\frac{-1}{x}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+1}} =-x\big(\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}+1\big).
(Outra forma de ver isso é multiplicar e simplificar; o resultado é o mesmo.)

Passo 6

Agora avaliamos o limite a partir da última forma. Quando x\to -\infty temos:
-x\to +\infty \qquad\text{e}\qquad \sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+1 \to 1+1=2,
pois \dfrac{1}{x^{2}}\to 0. Portanto o produto
-x\big(\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}+1\big)\to +\infty\cdot 2 = +\infty.
Assim a expressão diverge para +\infty quando x\to -\infty.

Resposta

+\infty

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