Passo 1
O problema pede calcular o valor do limite
Informações dadas: a variável
tende para
e a expressão é a diferença entre
e
.
Observação importante sobre o formato da expressão: quando
tanto
quanto
tendem para
. Então a expressão tem a forma indeterminada
. Isso significa que não podemos simplesmente subtrair os limites; é preciso manipular a expressão algebraicamente para obter uma forma cujo limite seja claro.
Passo 2
Uma técnica clássica para tratar diferenças do tipo
envolvendo raízes é multiplicar numerador e denominador pela conjugada. Vamos multiplicar a expressão por
que vale
, então não altera o valor. Fazendo a multiplicação obtemos:
No numerador usamos a identidade
. Aplicando:
Portanto a expressão simplifica para
Passo 3
Agora ficou mais fácil analisar o limite. Temos
Para entender o comportamento do denominador quando
é útil fatorar
em
. Para
vale
, logo
Substituindo no denominador:
Assim
Passo 4
Agora use o comportamento de
quando
:
. Aqui
e, como
, temos
. Portanto
e consequentemente
Então o denominador
cresce como
quando
, ou seja tende para
. Como o numerador é
, a fração tende para
. Também podemos ver uma estimativa útil:
o que confirma que tende para
e de forma positiva.
Conclusão: o limite da expressão é
. Você pode interpretar intuitivamente: a diferença entre
e
fica cada vez menor quando
cresce, decrescendo aproximadamente como
. Isso é uma boa técnica para provas: sempre que aparecer
racionalize pela conjugada.