\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)

Passo 1

O problema pede calcular o valor do limite
\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right).
Informações dadas: a variável x tende para +\infty e a expressão é a diferença entre \sqrt{x^{2}+1} e x.
Observação importante sobre o formato da expressão: quando x\to+\infty tanto \sqrt{x^{2}+1} quanto x tendem para +\infty. Então a expressão tem a forma indeterminada \infty-\infty. Isso significa que não podemos simplesmente subtrair os limites; é preciso manipular a expressão algebraicamente para obter uma forma cujo limite seja claro.

Passo 2

Uma técnica clássica para tratar diferenças do tipo \infty-\infty envolvendo raízes é multiplicar numerador e denominador pela conjugada. Vamos multiplicar a expressão por
\frac{\sqrt{x^{2}+1}+x}{\sqrt{x^{2}+1}+x},
que vale 1, então não altera o valor. Fazendo a multiplicação obtemos:
\sqrt{x^{2}+1}-x = \frac{\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)\left(\sqrt{x^{2}+1}+x\right)}{\sqrt{x^{2}+1}+x}.
No numerador usamos a identidade (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}. Aplicando:
\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)^{2}-x^{2} = (x^{2}+1)-x^{2}=1.
Portanto a expressão simplifica para
\sqrt{x^{2}+1}-x = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}.

Passo 3

Agora ficou mais fácil analisar o limite. Temos
\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right) = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}.
Para entender o comportamento do denominador quando x\to+\infty é útil fatorar x em \sqrt{x^{2}+1}. Para x>0 vale \sqrt{x^{2}}=x, logo
\sqrt{x^{2}+1}=x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}.
Substituindo no denominador:
\sqrt{x^{2}+1}+x = x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+1\right).
Assim
\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x} = \frac{1}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+1\right)}.

Passo 4

Agora use o comportamento de \sqrt{1+u} quando u\to0: \sqrt{1+u}\to1. Aqui u=\frac{1}{x^{2}} e, como x\to+\infty, temos u\to0. Portanto
\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}\to 1,
e consequentemente
\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+1 \to 2.
Então o denominador x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+1\right) cresce como 2x quando x\to+\infty, ou seja tende para +\infty. Como o numerador é 1, a fração tende para 0. Também podemos ver uma estimativa útil:
\sqrt{x^{2}+1}-x = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}\sim \frac{1}{2x}\quad\text{quando }x\to+\infty,
o que confirma que tende para 0 e de forma positiva.
Conclusão: o limite da expressão é 0. Você pode interpretar intuitivamente: a diferença entre \sqrt{x^{2}+1} e x fica cada vez menor quando x cresce, decrescendo aproximadamente como 1/(2x). Isso é uma boa técnica para provas: sempre que aparecer \sqrt{x^{2}+(\text{constante})}-x racionalize pela conjugada.

Resposta

0

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