Calcule os limites abaixo: lim x 0^+ tan ^-1(ln x)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite de quando se aproxima de pela direita. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites, funções logarítmicas e a função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com limx 0^+ ln x = -infty quando se aproxima de pela direita. Sabemos que a função logaritmo natural, , tende a quando tende a .

Passo 3

Agora, vamos considerar o que acontece com a função arco-tangente, limy -infty tan^-1(y) = -pi2 , quando tende a . A função tem um limite conhecido quando vai para :

Passo 4

Aplicando esses resultados ao nosso caso, já que limx 0^+ tan^-1(ln x) = limy -infty tan^-1(y) = -pi2 tende a quando , podemos concluir que:

Resposta

-pi2

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