a) Faça o gráfico de
f(x)= x^3 & , x neq 1 0 & , x=1
b) Determine lim x 1^+ f(x) e lim x 1^- f(x).
c) Existe lim x 1 f(x) ? Em caso afirmativo, qual é? Em caso negativo, por que não?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado tem três partes: primeiro, fazer o gráfico de uma função que muda de regra quando x é igual a 1. Depois, calcular os limites dessa função quando x se aproxima de 1 pela direita e pela esquerda. Por fim, verificar se o limite geral existe. Para isso, vamos precisar entender como desenhar gráficos por partes e como calcular limites laterais.

Passo 2

Vamos começar com a letra a), que pede para fazermos o gráfico da função:
f(x) = x^3 & , x neq 1 0 & , x=1
Essa função é basicamente f(x) = x^3 para todos os valores de x, exceto quando x é exatamente 1. Quando x é 1, o valor de f(x) é 0.
Para desenhar o gráfico:
  1. Primeiro, desenhamos a curva de y = x^3, que é uma função cúbica conhecida, passando pela origem (0,0) e sendo simétrica em relação à origem.
  2. No ponto onde x = 1, ao invés de seguir a curva habitual que seria y = 1^3 = 1, colocamos um ponto aberto na coordenada (1,1) e um ponto fechado em (1,0), já que quando x = 1, f(x) é 0.
Isso mostra que em x = 1, a função “pula” para o valor 0, criando uma descontinuidade.

Passo 3

Agora, vamos para a letra b), onde precisamos determinar os limites laterais:
  • limx 1^+ f(x): limite quando x se aproxima de 1 pela direita (valores maiores que 1).
  • limx 1^- f(x): limite quando x se aproxima de 1 pela esquerda (valores menores que 1).
Como a função é f(x) = x^3 para todos os x diferentes de 1, os limites laterais vão seguir a função cúbica.
Calculando:
limx 1^+ f(x) = limx 1^+ x^3 = 1^3 = 1
limx 1^- f(x) = limx 1^- x^3 = 1^3 = 1
Então, ambos os limites laterais são iguais a 1.

Passo 4

Finalmente, na letra c), precisamos verificar se o limite geral limx 1 f(x) existe. Para isso, basta ver se os limites laterais são iguais.
Como vimos no passo anterior:
limx 1^+ f(x) = 1 e limx 1^- f(x) = 1
Como os dois limites laterais são iguais, o limite geral existe e é igual a 1. Note que, mesmo a função estando definida como 0 em x = 1, o limite se baseia nos valores próximos a 1, não no valor exato da função em 1.

Resposta

a) O gráfico de f(x) é a curva de y = x^3 com um ponto aberto em (1,1) e um ponto fechado em (1,0).
b) limx 1^+ f(x) = 1 e limx 1^- f(x) = 1.
c) Sim, o limite limx 1 f(x) existe e é igual a 1.

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