Calcule os limites abaixo:
lim x 2 x^2-9 x+1x^2-6 x+8

Passo 1

Vamos calcular o limite da função lim x 2 x^2-9x+1x^2-6x+8. Aqui, estamos trabalhando com limites de funções racionais, que são quocientes de polinômios. Para resolver isso, vamos precisar substituir o valor de x e analisar o comportamento da função perto de x = 2.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 2 diretamente na função:
2^2 - 9 times 2 + 12^2 - 6 times 2 + 8 = 4 - 18 + 14 - 12 + 8 = -130
Aqui, vemos que o denominador se aproxima de zero, enquanto o numerador se aproxima de -13. Isso nos indica que a função está tendendo a uma forma indefinida do tipo número0ú, o que geralmente sugere que o limite pode ser infinito ou não existir.

Passo 3

Para entender melhor o que está acontecendo, vamos analisar o denominador:
x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)
Agora, vamos observar como o denominador se comporta quando x se aproxima de 2:
  • Quando x se aproxima de 2 pela direita ( x to 2^+):
    • (x - 2) é um número positivo muito pequeno.
    • (x - 4) é negativo, já que 2 - 4 = -2.
    • Então, o denominador é positivo pequeno ( + vezes - -, mas o denominador é $ (x -2)(x -4)$, ou seja, (x -2)(x -4) = (+)(-)).
  • Quando - se aproxima de 2 pela esquerda ( x):
    • x to 2^- é um número negativo muito pequeno.
    • (x - 2) ainda é negativo.
    • Então, o denominador é positivo pequeno ( (x - 4) vezes - -).

Passo 4

Agora, vamos ver como isso afeta o limite:
  • Para x to 2^+:
    • Numerador to -13
    • Denominador to 0^- (negativo)
    • -130^- = +infty
  • Para x to 2^-:
    • Numerador to -13
    • Denominador to 0^+ (positivo)
    • -130^+ = -infty
Como os limites laterais são diferentes ( +infty e -infty), o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe, pois quando x se aproxima de 2, a função tende para +infty pela direita e -infty pela esquerda.

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