Calcule os limites abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite:
Aqui, vamos usar Cálculo de Limites, especificamente L’Hospital’s Rule, que é útil quando temos formas indeterminadas como 0/0 ou ∞/∞. Vamos precisar conhecer derivadas básicas para aplicar essa regra.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o comportamento das funções no numerador e no denominador quando $ x $ tende a 1.
No numerador:
No denominador:
Então, temos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, que é exatamente o caso onde podemos aplicar a Regra de L’Hospital.
Passo 3
A Regra de L’Hospital diz que se temos:
então podemos calcular:
desde que as derivadas existam e o limite resultante exista.
Vamos aplicar isso ao nosso caso:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de $ f(x) $ e $ g(x) $.
Primeiro, a derivada de $ f(x) $:
Agora, a derivada de $ g(x) $:
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo as derivadas:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Agora, avaliamos o limite quando $ x $ tende a 1: