Calcule os limites abaixo:
lim x 1 1raizx-11-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite:
lim x 1 1raizx - 11 - x
Aqui, vamos usar Cálculo de Limites, especificamente L’Hospital’s Rule, que é útil quando temos formas indeterminadas como 0/0 ou ∞/∞. Vamos precisar conhecer derivadas básicas para aplicar essa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o comportamento das funções no numerador e no denominador quando $ x $ tende a 1.
No numerador:
x
No denominador:
1raizx - 1 quando x 1 se torna 11 - 1 = 0
Então, temos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, que é exatamente o caso onde podemos aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

A Regra de L’Hospital diz que se temos:
limx to a f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty,
então podemos calcular:
limx to a f'(x)g'(x)
desde que as derivadas existam e o limite resultante exista.
Vamos aplicar isso ao nosso caso:
f(x) = 1raizx - 1
g(x) = 1 - x

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de $ f(x) $ e $ g(x) $.
Primeiro, a derivada de $ f(x) $:
f(x)
g(x)
Agora, a derivada de $ g(x) $:
f(x)
f(x) = x^-1/2 - 1

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo as derivadas:
lim x 1 f'(x)g'(x) = lim x 1 -12 cdot 1x^3/2 -1 = lim x 1 12 cdot 1x^3/2

Passo 6

Simplificando a expressão:
12 cdot 1x^3/2 = 12x^3/2
Agora, avaliamos o limite quando $ x $ tende a 1:
x

Resposta

12

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