Calcule os limites abaixo:
lim x 2 x^2-3 x+2x^3-5 x^2+8 x-4

Passo 1

A questão pede para calcular
limxto 2x^2-3x+2x^3-5x^2+8x-4
Isso é um problema de limite de função racional que dá 0/0 se a gente simplesmente substituir x=2. Para resolver, vamos usar fatoração e cancelamento de termos comuns.

Passo 2

Começamos fatorando o numerador e o denominador.
O numerador é a quadrática
x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)
No denominador, notamos que x=2 zera o polinômio
x^3-5x^2+8x-4,
então podemos dividir por (x-2). Fazendo a divisão de polinômios (ou via regra de Ruffini), obtemos
x^3-5x^2+8x-4 = (x-2)l(x^2-3x+2r) =(x-2),(x-1)(x-2) =(x-2)^2(x-1)

Passo 3

Substituindo as fatorações na fração original, fica
x^2-3x+2x^3-5x^2+8x-4 =(x-1)(x-2)(x-2)^2(x-1)
Como xneq2 no limite, podemos cancelar um fator (x-1) e um (x-2), levando a
(x-1)(x-2)(x-2)^2(x-1) =1,x-2,

Passo 4

Agora estudamos
limxto21x-2
Quando xto2^-, o denominador é um número negativo muito pequeno, logo 1x-2to -infty.
Quando xto2^+, o denominador é positivo e pequeno, então 1x-2to +infty.
Como as duas “mãos” não coincidem, o limite bilateral não existe (é uma descontinuidade infinita).

Resposta

O limite não existe. Em termos de limites laterais:
limxto2^-x^2-3x+2x^3-5x^2+8x-4=-infty, limxto2^+x^2-3x+2x^3-5x^2+8x-4=+infty

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