Empregando a transformada de Laplace, resolver o problema de valor inicial:
4 y^prime prime-4 y^prime+37 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=0,5

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por transformada de Laplace, o problema de valor inicial
4,y''(t)-4,y'(t)+37,y(t)=0,
com condições y(0)=1 e y'(0)=0,5. O conteúdo necessário é a transformada de Laplace de derivadas e as tabelas usuais de inversa.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo e usando
Ly'=sY(s)-y(0) e Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0), obtemos
4l(s^2Y(s)-scdot1-0,5r);-;4l(sY(s)-1r);+;37,Y(s)=0

Passo 3

Distribuindo e coletando os termos em Y(s):
4s^2Y(s)-4s-2-4sY(s)+4+37Y(s)=0 Longrightarrow Y(s)l(4s^2-4s+37r)=4s-2
Logo,
Y(s)=4s-24s^2-4s+37

Passo 4

Para inverter a transformada, completamos o quadrado no denominador:
4s^2-4s+37 =4l[s^2-s+tfrac374r] =4l[(s-tfrac12)^2+9r]
Assim,
Y(s) =4s-24l[(s-tfrac12)^2+3^2r] =2(2s-1)4l[(s-tfrac12)^2+3^2r] =s-tfrac12(s-tfrac12)^2+3^2

Passo 5

Reconhecendo a forma padrão
L^-1ls-a(s-a)^2+b^2r =e^a tcos(bt),
com a=tfrac12 e b=3, deduzimos
y(t)=e^tfrac12,tcos(3t)

Resposta

y(t)=e^tfrac t2cos(3t)

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