Empregando a transformada de Laplace, resolver o problema de valor inicial:
y^prime prime+2 y^prime+y=0, y(0)=1, y^prime(0)=-2

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial
y'' + 2y' + y = 0, y(0)=1,;y'(0)=-2
e pede para resolver usando a transformada de Laplace. Para isso, vamos usar as propriedades
Ly=Y(s),
Ly'=sY(s)-y(0) e
Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0).

Passo 2

Aplicando L em ambos os lados de y''+2y'+y=0, obtemos
l(s^2Y(s)-scdot y(0)-y'(0)r)+2l(sY(s)-y(0)r)+Y(s)=0
Substituindo y(0)=1 e y'(0)=-2, fica
s^2Y(s)-s+2 +2sY(s)-2 +Y(s)=0

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s) e os demais, vem
Y(s)l(s^2+2s+1r)=s,
ou seja
Y(s)=ss^2+2s+1=s(s+1)^2

Passo 4

Para achar y(t), escrevemos
s(s+1)^2=(s+1)-1(s+1)^2=1s+1-1(s+1)^2
Aplicando a transformada inversa,
y(t)= L^-1ltfrac1s+1r- L^-1ltfrac1(s+1)^2r =e^-t-t,e^-t

Resposta

y(t)=e^-t-t,e^-t

Exercícios relacionados