Calcule os limites abaixo:
Passo 1
A questão pede para calcular
. O conteúdo aqui é limite de funções envolvendo exponencial de base 2. Para resolver, vamos usar a expansão em série de Taylor de
e, se preferir, poderia usar também a regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro percebemos que ao substituir
no numerador e no denominador, ambos valem zero, ou seja, temos uma forma indeterminada
. Isso confirma que podemos usar série de Taylor ou L’Hôpital para destrinchar a expressão.
Passo 3
Vamos expandir em série de Taylor até termos o termo de ordem
. Sabemos que
e
Passo 4
Agora substituímos essas expansões no numerador:
Somando termos de mesma ordem: a parte constante é zero, o termo em
também some, e sobra o termo em
:
Passo 5
Para o denominador:
Portanto, para valores pequenos de
, a fração fica
Passo 6
Concluímos que o limite é o valor que essa razão tende quando
, isto é,
.
Resposta
-2