Calcule os limites abaixo:
lim x 0 2^2 x-4.2^x+32^x-1

Passo 1

A questão pede para calcular limxto02^2x-4,2^x+32^x-1. O conteúdo aqui é limite de funções envolvendo exponencial de base 2. Para resolver, vamos usar a expansão em série de Taylor de 2^x = e^xln2 e, se preferir, poderia usar também a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro percebemos que ao substituir x=0 no numerador e no denominador, ambos valem zero, ou seja, temos uma forma indeterminada 0/0. Isso confirma que podemos usar série de Taylor ou L’Hôpital para destrinchar a expressão.

Passo 3

Vamos expandir em série de Taylor até termos o termo de ordem x. Sabemos que
2^x = e^xln2 = 1 + xln2 + tfrac(xln2)^22 + o(x^2)
e
2^2x = e^2xln2 = 1 + 2xln2 + tfrac(2xln2)^22 + o(x^2) = 1 + 2xln2 + 2x^2(ln2)^2 + o(x^2)

Passo 4

Agora substituímos essas expansões no numerador:
2^2x - 4,2^x + 3 = l(1 + 2xln2 + 2x^2(ln2)^2r) - 4l(1 + xln2 + tfracx^2(ln2)^22r) + 3 + o(x^2)
Somando termos de mesma ordem: a parte constante é zero, o termo em x^2 também some, e sobra o termo em x:
2xln2 - 4xln2 = -2xln2 + o(x^2)

Passo 5

Para o denominador:
2^x - 1 = l(1 + xln2 + tfracx^2(ln2)^22r) - 1 = xln2 + o(x^2)
Portanto, para valores pequenos de x, a fração fica
-2xln2 + o(x^2)xln2 + o(x^2) approx -2xln2xln2 = -2

Passo 6

Concluímos que o limite é o valor que essa razão tende quando xto0, isto é, -2.

Resposta

-2

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