Determine as raízes quadradas do número complexo z=5-12 i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as raízes quadradas do número complexo . Isso faz parte da matéria de Números Complexos, onde aprendemos a manipular e calcular com números que têm uma parte real e uma imaginária. Para resolver, vamos precisar usar a definição de raiz quadrada de um número complexo e resolver algumas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a raiz quadrada de seja outro número complexo, que vamos chamar de , onde e são números reais que precisamos encontrar. Nosso objetivo é descobrir os valores de e que satisfazem essa igualdade.

Passo 3

Agora, vamos elevar w^2 = (x + yi)^2 = x^2 + 2xyi + (yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi ao quadrado e igualar ao número complexo dado:
Queremos que isso seja igual a . Então, vamos igualar as partes reais e as partes imaginárias separadamente.

Passo 4

Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
x^2 - y^2 = 5 2xy = -12
Da segunda equação, podemos expressar 2xy = -12 Rightarrow xy = -6 Rightarrow y = -6x em termos de :

Passo 5

Substituindo x^2 - ( -6x )^2 = 5 Rightarrow x^2 - 36x^2 = 5 na primeira equação:
x^4 - 36 = 5x^2 Rightarrow x^4 - 5x^2 - 36 = 0
Multiplicando ambos os lados por u^2 - 5u - 36 = 0 para eliminar o denominador:
u = 5 pm raiz25 + 1442 = 5 pm raiz1692 = 5 pm 132
Vamos fazer uma substituição: , então a equação fica:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, ou . Como não pode ser negativo, descartamos . Então, , o que dá ou .

Passo 6

Agora, voltamos para encontrar y = -63 = -2 usando y = -6-3 = 2 :
  • Se :
  • Se :
Assim, as raízes quadradas de são e .

Resposta

As raízes quadradas de são e .

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