Determine as raízes quadradas do número complexo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as raízes quadradas do número complexo
. Isso faz parte da matéria de Números Complexos, onde aprendemos a manipular e calcular com números que têm uma parte real e uma imaginária. Para resolver, vamos precisar usar a definição de raiz quadrada de um número complexo e resolver algumas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a raiz quadrada de
seja outro número complexo, que vamos chamar de
, onde
e
são números reais que precisamos encontrar. Nosso objetivo é descobrir os valores de
e
que satisfazem essa igualdade.
Passo 3
Agora, vamos elevar
ao quadrado e igualar ao número complexo dado:
Queremos que isso seja igual a
. Então, vamos igualar as partes reais e as partes imaginárias separadamente.
Passo 4
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Da segunda equação, podemos expressar
em termos de
:
Passo 5
Substituindo
na primeira equação:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Vamos fazer uma substituição:
, então a equação fica:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto,
ou
. Como
não pode ser negativo, descartamos
. Então,
, o que dá
ou
.
Passo 6
Agora, voltamos para encontrar
usando
:
- Se
:
- Se
:
Assim, as raízes quadradas de
são
e
.
Resposta
As raízes quadradas de
são
e
.