Calcule os limites abaixo: \lim _{z \rightarrow \infty} \frac{1}{z}.
Passo 1
O enunciado pede calcular \lim_{z\to\infty}\frac{1}{z}.
O conteúdo é análise de limites no infinito, entendendo como funções racionais se comportam quando a variável cresce sem limite.
Passo 2
Observando qualitativamente, conforme z cresce cada vez mais, o denominador de \tfrac{1}{z} aumenta sem parar, de modo que o quociente fica cada vez menor e tende a zero.
Passo 3
Para mostrar isso de forma rigorosa, usemos a definição de limite no infinito. Seja qualquer \varepsilon>0. Queremos achar N tal que, para todo z>N, valha
\Bigl|\frac{1}{z}-0\Bigr|<\varepsilon.
Note que \bigl|\tfrac{1}{z}\bigr|=1/z. Basta escolher
N = \frac{1}{\varepsilon},
pois se z>N então
\frac{1}{z}<\frac{1}{N}=\varepsilon.
Isso mostra que \tfrac{1}{z} fica arbitrariamente próximo de zero quando z\to\infty.