Calcule os limites abaixo:
\lim _{z \rightarrow 0} \frac{|z|}{z}.

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{z\to 0}\frac{|z|}{z},
que envolve a função f(z)=|z|/z. O conteúdo é cálculo de limites de funções definidas por partes (devido ao valor absoluto).

Passo 2

Para entender \frac{|z|}{z}, note que, quando z é real:
  • Se z>0, então |z|=z e \frac{|z|}{z}=1.
  • Se z<0, então |z|=-z e \frac{|z|}{z}=-1.
    Em z=0 a expressão não está definida.

Passo 3

Vamos calcular o limite pela direita, isto é, z\to0^+. Nesse caso, sempre temos \tfrac{|z|}{z}=1. Logo,
\lim_{z\to0^+}\frac{|z|}{z}=1.

Passo 4

Agora o limite pela esquerda, z\to0^-. Aqui \tfrac{|z|}{z}=-1. Então
\lim_{z\to0^-}\frac{|z|}{z}=-1.

Passo 5

Como os limites laterais não coincidem 1\neq -1, o limite geral não existe.

Resposta

O limite \displaystyle\lim_{z\to0}\frac{|z|}{z} não existe.

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