A função exponencial é definida como f(z)=e^{z}, ou seja, como descrito anteriormente f(z)=e^{z}=e^{x}(\cos y+i \operatorname{sen} y). Iremos indicar nossa função exponencial pela notação
\exp z=e^{x}(\cos y+i \operatorname{sen} y)
se considerarmos z=x+i y. Desta forma, mostre que:
(a) f(z)=\exp z é analítica para todo z.
(b) f^{\prime}(z)=\exp z
(c) A função complexa \exp z é 2 \pi i - periódica, com período.

Passo 1

O enunciado define
\exp z = e^{z} = e^{x}(\cos y + i\,\operatorname{sen}y),
onde z = x + i y.
Conteúdo: vamos usar as condições de Cauchy–Riemann para mostrar que \exp z é holomorfa em todo \mathbb{C}, então calcular sua derivada via essas condições e, por fim, verificar a periodicidade em 2\pi i.

Passo 2

Escrevemos
\exp z = u(x,y) + i\,v(x,y),
com
u(x,y) = e^{x}\cos y, \quad v(x,y) = e^{x}\sin y.
Calculamos as derivadas parciais:
u_x = e^{x}\cos y, \quad u_y = -e^{x}\sin y,
v_x = e^{x}\sin y, \quad v_y = e^{x}\cos y.
As condições de Cauchy–Riemann exigem
u_x = v_y \quad\text{e}\quad u_y = -\,v_x.
De fato,
u_x = e^{x}\cos y = v_y, \quad u_y = -e^{x}\sin y = -\,v_x.
Como essas igualdades valem para todo (x,y), concluímos que \exp z é holomorfa em todo \mathbb{C}, ou seja, analítica para todo z.

Passo 3

Para funções holomorfas definidas por u e v, a derivada complexa é
f'(z) = u_x + i\,v_x.
Aqui,
f'(z) = e^{x}\cos y + i\bigl(e^{x}\sin y\bigr) = e^{x}(\cos y + i\,\sin y) = \exp z.
Portanto, \bigl(\exp z\bigr)' = \exp z.

Passo 4

Para a periodicidade, note que, para qualquer z=x+iy,
\exp\bigl(z + 2\pi i\bigr) = e^{x + i(y + 2\pi)} = e^{x}\bigl(\cos(y+2\pi)+i\sin(y+2\pi)\bigr) = e^{x}(\cos y + i\sin y) = \exp z.
Logo, \exp z é periódica de período 2\pi i.

Resposta

(a) \exp z satisfaz as condições de Cauchy–Riemann em todo \mathbb{C} e, portanto, é analítica em todo z.
(b) \dfrac{d}{dz}\exp z = \exp z.
(c) \exp z é 2\pi i-periódica, isto é, \exp(z+2\pi i)=\exp z.

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