A função exponencial é definida como
, ou seja, como descrito anteriormente
. Iremos indicar nossa função exponencial pela notação
se considerarmos
. Desta forma, mostre que:
(a)
é analítica para todo
.
(b)
(c) A função complexa
é
- periódica, com período.
(a)
(b)
(c) A função complexa
Passo 1
O enunciado define
onde
.
Conteúdo: vamos usar as condições de Cauchy–Riemann para mostrar que é holomorfa em todo
, então calcular sua derivada via essas condições e, por fim, verificar a periodicidade em
.
Conteúdo: vamos usar as condições de Cauchy–Riemann para mostrar que
Passo 2
Escrevemos
com
Calculamos as derivadas parciais:
As condições de Cauchy–Riemann exigem
De fato,
Como essas igualdades valem para todo
, concluímos que
é holomorfa em todo
, ou seja, analítica para todo
.
Passo 3
Para funções holomorfas definidas por
e
, a derivada complexa é
Aqui,
Portanto,
.
Passo 4
Para a periodicidade, note que, para qualquer
,
Logo,
é periódica de período
.
Resposta
(a)
satisfaz as condições de Cauchy–Riemann em todo
e, portanto, é analítica em todo
.
(b) .
(c) é
-periódica, isto é,
.
(b)
(c)