Estabeleça as derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas:
(\operatorname{sinh} z)^{\prime}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de \operatorname{sinh} z. Aqui o conteúdo é diferenciação de funções definidas em termos de exponenciais. Para resolver, vamos lembrar a definição de \operatorname{sinh} z em termos de e^z e usar a regra básica de derivação de exponenciais.

Passo 2

Pela definição,
\operatorname{sinh} z = \frac{e^{z} - e^{-z}}{2}.
Derivando termo a termo e usando \bigl(e^{az}\bigr)' = a\,e^{az}, obtemos
(\operatorname{sinh} z)' = \frac{d}{dz}\!\biggl(\frac{e^{z}}{2}\biggr) \;-\;\frac{d}{dz}\!\biggl(\frac{e^{-z}}{2}\biggr) = \frac{1\cdot e^{z}}{2} \;-\;\frac{(-1)\,e^{-z}}{2} = \frac{e^{z} + e^{-z}}{2}.
Reconhecemos essa expressão como \operatorname{cosh} z.

Resposta

(\operatorname{sinh} z)' = \operatorname{cosh} z.

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