A 20^{\circ} \mathrm{C}, uma caneca metálica com capacidade de 900 mL é completamente enchida com acetona. O conjunto caneca + acetona é então aquecido até 60{ }^{\circ} \mathrm{C} e se observa que 51 mL de acetona são extravasados. Determine o coeciente de dilatação linear do material da caneca.

Passo 1

O enunciado diz que, a 20{}^\circ\mathrm{C}, a caneca metálica tem volume interno V_{0}=900\text{ mL} e está completamente cheia de acetona. Ao aquecer até 60{}^\circ\mathrm{C} ( \Delta T=40\;\mathrm{K}), extravasa V_{\rm extr}=51\text{ mL}. Precisamos do conteúdo de dilatação volumétrica: a acetona cresce com coeficiente volumétrico \beta_{\rm liq} e a caneca, com coeficiente linear \alpha (logo volumétrico 3\alpha). A diferença de dilatação líquida gera o volume extravasado.

Passo 2

O volume final da acetona seria, se não houvesse recipiente,
V_{\rm liq}(T)=V_{0}\bigl(1+\beta_{\rm liq}\,\Delta T\bigr).
Mas o volume interno da caneca cresce para
V_{\rm can}(T)=V_{0}\bigl(1+3\alpha\,\Delta T\bigr).
O que extravasa é a diferença
V_{\rm extr} =V_{\rm liq}(T)-V_{\rm can}(T) =V_{0}\bigl[\beta_{\rm liq}-3\alpha\bigr]\Delta T.

Passo 3

Isolando \alpha, obtemos
V_{\rm extr} =V_{0}\bigl(\beta_{\rm liq}-3\alpha\bigr)\Delta T \quad\Longrightarrow\quad \beta_{\rm liq}-3\alpha =\frac{V_{\rm extr}}{V_{0}\,\Delta T} \quad\Longrightarrow\quad \alpha =\frac{1}{3}\Bigl(\beta_{\rm liq}-\frac{V_{\rm extr}}{V_{0}\,\Delta T}\Bigr).

Passo 4

Para calcular numericamente \alpha é essencial conhecer \beta_{\rm liq}, o coeficiente volumétrico da acetona. Como esse valor não foi fornecido no enunciado, não há dados suficientes para obter um valor numérico de \alpha.

Resposta

Não é possível determinar o coeficiente de dilatação linear \alpha da caneca sem o valor do coeficiente volumétrico \beta_{\rm liq} da acetona.

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