Calcule os limites abaixo :
(1,0 ponto)
(1,0 ponto)
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e o que precisamos: a função dentro da tangente é
. Vamos estudar o comportamento dessa expressão quando
se aproxima de
e então aplicar propriedades de limite e continuidade da função
(tangente) para obter o resultado final.
Passo 2
Primeiro simplificar a fração dentro da tangente, fatorando numerador e denominador. Observe que
e
Para
podemos cancelar o fator comum
. Assim, para
próximo de
(mas
),
Passo 3
Agora calculamos o limite da expressão simplificada quando
. Usamos a regra de substituição (limite de uma razão em que o denominador não se anula no ponto limite):
Passo 4
Explicar por que podemos passar a tangente para fora do limite: a função
é contínua em todo ponto
tal que
. Avaliando em
temos
, portanto
é contínua em
. Logo, se a parte interna tende a
, então
Passo 5
Calcular
. Sabendo que
e que
e
, obtemos