Use uma integral dupla para calcular o volume do conjunto dado.
\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2} \leq z \leq 1-x^{2}\right\}.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado.
  • Pede-se o volume do conjunto
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^{2}+y^{2}\le z \le 1-x^{2}\}.
  • Isto é, para cada ponto (x,y) em uma região do plano xy, a coordenada z varia entre a superfície inferior z_{\text{inf}}(x,y)=x^{2}+y^{2} e a superfície superior z_{\text{sup}}(x,y)=1-x^{2}.
  • O volume V pode ser calculado por uma integral dupla na projeção D desse sólido no plano xy:
V=\iint_{D}\big(z_{\text{sup}}(x,y)-z_{\text{inf}}(x,y)\big)\,dA.
  • Precisamos então determinar a região D\subset\mathbb{R}^2 onde existe a coluna em z, ou seja, onde vale
x^{2}+y^{2}\le 1-x^{2}.
Não começamos a calcular ainda; apenas organizamos o que foi pedido e os dados.

Passo 2

Determinar a projeção D no plano xy e escrever a integral dupla.
  • A desigualdade da projeção é
x^{2}+y^{2}\le 1-x^{2}\quad\Longrightarrow\quad 2x^{2}+y^{2}\le 1.
  • Esta é uma elipse centrada na origem. Para escrever limites simples em coordenadas cartesianas, isolamos y:
y^{2}\le 1-2x^{2}\quad\Longrightarrow\quad -\sqrt{1-2x^{2}}\le y\le \sqrt{1-2x^{2}}.
  • O domínio em x é dado por 1-2x^{2}\ge0, ou seja
-\,\frac{1}{\sqrt{2}}\le x\le\frac{1}{\sqrt{2}}.
  • O integrando (diferença entre as superfícies) é
z_{\text{sup}}-z_{\text{inf}}=(1-x^{2})-(x^{2}+y^{2})=1-2x^{2}-y^{2}.
  • Portanto o volume é
V=\int_{x=-1/\sqrt{2}}^{1/\sqrt{2}}\int_{y=-\sqrt{1-2x^{2}}}^{\sqrt{1-2x^{2}}}\big(1-2x^{2}-y^{2}\big)\,dy\,dx.

Passo 3

Integramos primeiro em y (explicando passo a passo).
  • Para uma função do tipo A-y^{2} integrada simetricamente de -a a a vale
\int_{-a}^{a}(A-y^{2})\,dy=2A a-\frac{2}{3}a^{3},
porque \int_{-a}^{a}1\,dy=2a e \int_{-a}^{a}y^{2}\,dy=\tfrac{2}{3}a^{3}.
  • No nosso caso A=1-2x^{2} e a=\sqrt{1-2x^{2}}. Assim
\int_{y=-\sqrt{1-2x^{2}}}^{\sqrt{1-2x^{2}}}\big(1-2x^{2}-y^{2}\big)\,dy =2(1-2x^{2})\sqrt{1-2x^{2}}-\frac{2}{3}\big(1-2x^{2}\big)^{3/2}.
  • Fatorando (1-2x^{2})^{3/2} obtemos
2(1-2x^{2})^{3/2}-\frac{2}{3}(1-2x^{2})^{3/2}=\frac{4}{3}\big(1-2x^{2}\big)^{3/2}.
  • Portanto a integral em y simplifica para
\int_{-\sqrt{1-2x^{2}}}^{\sqrt{1-2x^{2}}}\big(1-2x^{2}-y^{2}\big)\,dy=\frac{4}{3}\big(1-2x^{2}\big)^{3/2}.

Passo 4

Reduzir a integral em x usando simetria e fazer substituição trigonométrica.
  • A expressão obtida é função par de x (depende de x^{2}), logo
V=\int_{-1/\sqrt{2}}^{1/\sqrt{2}}\frac{4}{3}\big(1-2x^{2}\big)^{3/2}\,dx =2\cdot\frac{4}{3}\int_{0}^{1/\sqrt{2}}\big(1-2x^{2}\big)^{3/2}\,dx =\frac{8}{3}\int_{0}^{1/\sqrt{2}}\big(1-2x^{2}\big)^{3/2}\,dx.
  • Para eliminar a expressão (1-2x^{2}) dentro da raiz use uma substituição trigonométrica conveniente. Tome
x=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin u.
Então
2x^{2}=\sin^{2}u,\qquad 1-2x^{2}=\cos^{2}u,
e
dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\cos u\,du.
  • Os limites mudam: x=0\Rightarrow u=0, x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow u=\dfrac{\pi}{2}.
  • Substituindo na integral:
\big(1-2x^{2}\big)^{3/2}=(\cos^{2}u)^{3/2}=\cos^{3}u\quad(\text{o cosseno é não-negativo em }[0,\tfrac{\pi}{2}]),éã
e
\big(1-2x^{2}\big)^{3/2}\,dx=\cos^{3}u\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\cos u\,du=\frac{1}{\sqrt{2}}\cos^{4}u\,du.
  • Logo
V=\frac{8}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}u\,du=\frac{8}{3\sqrt{2}}\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}u\,du.

Passo 5

Calcular \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}u\,du.
  • Use a identidade \cos^{2}u=\dfrac{1+\cos 2u}{2}. Então
\cos^{4}u=\big(\cos^{2}u\big)^{2}=\left(\frac{1+\cos 2u}{2}\right)^{2} =\frac{1}{4}\big(1+2\cos 2u+\cos^{2}2u\big).
  • Integrando de 0 a \pi/2:
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}u\,du=\frac{1}{4}\left[\int_{0}^{\pi/2}1\,du +2\int_{0}^{\pi/2}\cos 2u\,du+\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}2u\,du\right].
  • Observa-se que \int_{0}^{\pi/2}\cos 2u\,du=0 (é uma senoide completa simétrica). Para \int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}2u\,du aplicamos novamente a identidade:
\cos^{2}2u=\frac{1+\cos 4u}{2},
então
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}2u\,du=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}1\,du+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\cos 4u\,du =\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}+0=\frac{\pi}{4}.
  • Substituindo:
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}u\,du=\frac{1}{4}\left[\frac{\pi}{2}+0+\frac{\pi}{4}\right] =\frac{1}{4}\cdot\frac{3\pi}{4}=\frac{3\pi}{16}.

Passo 6

Colocar tudo junto e simplificar os fatores numéricos para obter o volume.
  • Substituindo o valor do integral em \cos^{4}u:
V=\frac{8}{3\sqrt{2}}\cdot\frac{3\pi}{16}.
  • Cancelando o 3 e simplificando os fatores:
V=\frac{8\pi}{16\sqrt{2}}=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}.
  • Opcionalmente racionalizando o denominador:
V=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}=\frac{\pi\sqrt{2}}{4}.

Resposta

\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\pi\sqrt{2}}{4}

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