Use uma integral dupla para calcular o volume do conjunto dado.
.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos é dado.
- Pede-se o volume do conjunto
- Isto é, para cada ponto
em uma região do plano , a coordenada varia entre a superfície inferior e a superfície superior . - O volume
pode ser calculado por uma integral dupla na projeção desse sólido no plano :
- Precisamos então determinar a região
onde existe a coluna em , ou seja, onde vale
Não começamos a calcular ainda; apenas organizamos o que foi pedido e os dados.
Passo 2
Determinar a projeção
no plano
e escrever a integral dupla.
- A desigualdade da projeção é
- Esta é uma elipse centrada na origem. Para escrever limites simples em coordenadas cartesianas, isolamos
:
- O domínio em
é dado por , ou seja
- O integrando (diferença entre as superfícies) é
- Portanto o volume é
Passo 3
Integramos primeiro em
(explicando passo a passo).
- Para uma função do tipo
integrada simetricamente de a vale
porque
e
.
- No nosso caso
e . Assim
- Fatorando
obtemos
- Portanto a integral em
simplifica para
Passo 4
Reduzir a integral em
usando simetria e fazer substituição trigonométrica.
- A expressão obtida é função par de
(depende de ), logo
- Para eliminar a expressão
dentro da raiz use uma substituição trigonométrica conveniente. Tome
Então
e
- Os limites mudam:
, . - Substituindo na integral:
e
- Logo
Passo 5
Calcular
.
- Use a identidade
. Então
- Integrando de
a :
- Observa-se que
(é uma senoide completa simétrica). Para aplicamos novamente a identidade:
então
- Substituindo:
Passo 6
Colocar tudo junto e simplificar os fatores numéricos para obter o volume.
- Substituindo o valor do integral em
:
- Cancelando o
e simplificando os fatores:
- Opcionalmente racionalizando o denominador: