Calcule os limites abaixo ou prove que não existem:
.
Passo 1
O enunciado pede para analisar o limite multivariado de
quando
. Vamos usar expansão em série de
e também diferentes caminhos de aproximação para ver se o limite é único.
Passo 2
Considere o caminho
. Nesse caso temos
, e portanto
Logo, ao longo de
o limite é
.
Passo 3
Agora considere o caminho
. Substituindo, o numerador fica
e o denominador é
. Então
Para analisar, use a expansão em série de
em torno de
:
Aqui
, então
e portanto o limite ao longo de
é
.
Passo 4
Como ao longo de caminhos diferentes (
e
) obtemos valores diferentes (
e
), o limite não é único e, portanto, não existe.
Resposta
O limite não existe.