(2,0) Calcule os limites abaixo ou prove que não existem:
lim (x ; y) (0,0) e^x^3-1y^3.

Passo 1

O enunciado pede para analisar o limite multivariado de f(x,y)=e^x^3-1y^3 quando (x,y)to(0,0). Vamos usar expansão em série de e^u e também diferentes caminhos de aproximação para ver se o limite é único.

Passo 2

Considere o caminho x=0. Nesse caso temos e^0^3-1=0, e portanto
e^0^3-1y^3=0y^3=0
Logo, ao longo de x=0 o limite é 0.

Passo 3

Agora considere o caminho x=y. Substituindo, o numerador fica e^y^3-1 e o denominador é y^3. Então
e^y^3-1y^3
Para analisar, use a expansão em série de e^u em torno de u=0:
e^u-1 = u + O(u^2) quando uto0
Aqui u=y^3, então
e^y^3-1y^3 = y^3 + O(y^6)y^3 = 1 + O(y^3),
e portanto o limite ao longo de x=y é 1.

Passo 4

Como ao longo de caminhos diferentes ( x=0 e x=y) obtemos valores diferentes ( 0 e 1), o limite não é único e, portanto, não existe.

Resposta

O limite não existe.

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