(a) Escreva os polinômios de Taylor de ordem 3 da função f(x)=ln x, em torno de a=1 e a=2. (b) Usando a representação em série de potências de ln (1+x), do Exemplo 3.13, pag 65, e o fato que ln x=ln (1+x-1), obtenha
ln x=(x-1)-12(x-1)^2+13(x-1)^3-cdots+(-1)^n-1 1n(x-1)^n+cdots
Qual é o intervalo de convergência dessa série? E o raio?
© Se tivessemos calculado os coeficientes de Taylor cn=f^(n)(1) / n !, teríamos obtido a mesma série? Por quê?
(d) Para a=2, podemos usar
ln x=ln (2+x-2)=ln [2(1+x-22)]=ln 2+ln (1+x-22)=cdots
Apresente a séries de Taylor correspondente a f(x) em torno de a=2. Qual é o intervalo de convergência e o raio dessa série?

Passo 1

O enunciado pede (a) os polinômios de Taylor de ordem 3 de f(x)=ln x em torno de a=1 e a=2, (b) obter a série de potências de ln x a partir da expansão de ln(1+u), identificar intervalo e raio de convergência, © comentar se os coeficientes c_n=f^{(n)}(1)/n! dariam a mesma série, e (d) obter a série de Taylor em torno de a=2 via ln[2(1+(x−2)/2)] e achar intervalo e raio. Vamos usar derivadas de ln x para (a), a fórmula ln(1+u)=∑_{n=1}∞(−1){n−1}un/n para (b) e (d), e a unicidade da série de Taylor para ©.

Passo 2

Derivamos f(x)=ln x: f’(x)=1/x, f’’(x)=−1/x^2, f’’’(x)=2/x^3. Em a=1 temos f(1)=0, f’(1)=1, f’’(1)=−1, f’’’(1)=2. Logo o polinômio de Taylor de ordem 3 em torno de 1 é:
T3^(1)(x)=0+1,(x-1)+-12(x-1)^2+26(x-1)^3=(x-1)-12(x-1)^2+13(x-1)^3

Passo 3

Em a=2 temos f(2)=\ln2, f’(2)=1/2, f’’(2)=−1/4, f’’’(2)=1/4. O polinômio de ordem 3 é:
T3^(2)(x)=ln2+12(x-2)+-1/42(x-2)^2+1/46(x-2)^3=ln2+12(x-2)-18(x-2)^2+124(x-2)^3

Passo 4

Para (b) escrevemos x=1+u, então ln x=ln(1+u)=\sum_{n=1}∞(-1){n-1}\frac{u^n}{n}. Voltando a u=x-1:
ln x=sumn=1^∞(-1)^n-1(x-1)^nn
Essa série converge para |u|<1 (ou seja |x-1|<1) e converge condicionalmente em u=1 (x=2), diverge em u=−1 (x=0). Logo o intervalo de convergência em x é 0<x≤2 e o raio é R=1.

Passo 5

Para ©, sim: calcular c_n=f^{(n)}(1)/n! reproduz exatamente os coeficientes acima, pois a série de Taylor de uma função analítica em torno de um ponto é única.

Passo 6

Para (d) colocamos x=2+t, t=x-2. Escrevemos ln x=ln2+ln(1+t/2)=ln2+\sum_{n=1}∞(-1){n-1}\frac{(t/2)^n}{n}. Substituindo t=x-2:
ln x=ln2+sumn=1^∞(-1)^n-1(x-2)^nn,2^n
Converge para |t/2|<1 (ou seja |x-2|<2) e condicionalmente em t/2=1 (x=4), diverge em t/2=−1 (x=0). Intervalo: 0<x≤4 e raio R=2.

Resposta

(a) T_3 em torno de 1: T3^(1)(x)=(x-1)-tfrac12(x-1)^2+tfrac13(x-1)^3.
T_3 em torno de 2: T3^(2)(x)=ln2+tfrac12(x-2)-tfrac18(x-2)^2+tfrac124(x-2)^3.
(b) ln x=sumn=1^∞(-1)^n-1(x-1)^nn,
intervalo de convergência: 0<x≤2, raio R=1.
© Sim, dá a mesma série, pois a expansão de Taylor de uma função analítica em torno de um ponto é única.
(d) ln x=ln2+sumn=1^∞(-1)^n-1(x-2)^nn,2^n,
intervalo de convergência: 0<x≤4, raio R=2.

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