(a) Escreva os polinômios de Taylor de ordem 3 da função
, em torno de
e
. (b) Usando a representação em série de potências de
, do Exemplo 3.13, pag 65, e o fato que
, obtenha
Qual é o intervalo de convergência dessa série? E o raio?
© Se tivessemos calculado os coeficientes de Taylor
!, teríamos obtido a mesma série? Por quê?
(d) Para
, podemos usar
Apresente a séries de Taylor correspondente a
em torno de
. Qual é o intervalo de convergência e o raio dessa série?
© Se tivessemos calculado os coeficientes de Taylor
(d) Para
Passo 1
O enunciado pede (a) os polinômios de Taylor de ordem 3 de f(x)=ln x em torno de a=1 e a=2, (b) obter a série de potências de ln x a partir da expansão de ln(1+u), identificar intervalo e raio de convergência, © comentar se os coeficientes c_n=f^{(n)}(1)/n! dariam a mesma série, e (d) obter a série de Taylor em torno de a=2 via ln[2(1+(x−2)/2)] e achar intervalo e raio. Vamos usar derivadas de ln x para (a), a fórmula ln(1+u)=∑_{n=1}∞(−1){n−1}un/n para (b) e (d), e a unicidade da série de Taylor para ©.
Passo 2
Derivamos f(x)=ln x: f’(x)=1/x, f’’(x)=−1/x^2, f’’’(x)=2/x^3. Em a=1 temos f(1)=0, f’(1)=1, f’’(1)=−1, f’’’(1)=2. Logo o polinômio de Taylor de ordem 3 em torno de 1 é:
Passo 3
Em a=2 temos f(2)=\ln2, f’(2)=1/2, f’’(2)=−1/4, f’’’(2)=1/4. O polinômio de ordem 3 é:
Passo 4
Para (b) escrevemos x=1+u, então ln x=ln(1+u)=\sum_{n=1}∞(-1){n-1}\frac{u^n}{n}. Voltando a u=x-1:
Essa série converge para |u|<1 (ou seja |x-1|<1) e converge condicionalmente em u=1 (x=2), diverge em u=−1 (x=0). Logo o intervalo de convergência em x é 0<x≤2 e o raio é R=1.
Passo 5
Para ©, sim: calcular c_n=f^{(n)}(1)/n! reproduz exatamente os coeficientes acima, pois a série de Taylor de uma função analítica em torno de um ponto é única.
Passo 6
Para (d) colocamos x=2+t, t=x-2. Escrevemos ln x=ln2+ln(1+t/2)=ln2+\sum_{n=1}∞(-1){n-1}\frac{(t/2)^n}{n}. Substituindo t=x-2:
Converge para |t/2|<1 (ou seja |x-2|<2) e condicionalmente em t/2=1 (x=4), diverge em t/2=−1 (x=0). Intervalo: 0<x≤4 e raio R=2.
Resposta
(a) T_3 em torno de 1:
.
T_3 em torno de 2: .
T_3 em torno de 2:
(b)
intervalo de convergência: 0<x≤2, raio R=1.
intervalo de convergência: 0<x≤2, raio R=1.
© Sim, dá a mesma série, pois a expansão de Taylor de uma função analítica em torno de um ponto é única.
(d)
intervalo de convergência: 0<x≤4, raio R=2.
intervalo de convergência: 0<x≤4, raio R=2.