Questão 1: Em cada problema a seguir, determinar se o método de separação de variáveis pode ser usado para substituir a equação diferencial parcial dada por um par de equações diferenciais ordinárias. Se for possível, achar as equações (não é necessário resolvê-las):
ux cdot ut=x^2

Passo 1

O enunciado apresenta a EDP ux,ut = x^2. O conteúdo é separação de variáveis em PDEs: queremos ver se dá para reduzir a equação a um par de EDOs usando um ansatz de separação.

Passo 2

Vamos supor uma solução do tipo u(x,t)=X(x)+T(t). Assim,
– calcula-se
ux = X'(x),
ut = T'(t)
Substituindo em ux,ut = x^2 vem
X'(x),T'(t) = x^2

Passo 3

O lado esquerdo é produto de uma função só de x por outra só de t, e o lado direito depende apenas de x. Para que isso ocorra, T'(t) deve ser constante. Introduzimos uma constante de separação lambda.
Com T'(t)=lambda, a equação para X fica
X'(x) = x^2lambda

Resposta

É possível usar separação de variáveis. As EDOs obtidas são:
T'(t) = lambda,
X'(x) = x^2lambda,
com lambda constante não nula.

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