Determine uma representação em série de potências, e o correspondente raio de convergência de cada série, para as funções:
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências para a função $ f(x) = \ln(5 - x) $ e determinar o raio de convergência dessa série. A gente vai usar conceitos de séries de Taylor e propriedades de convergência de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que uma série de potências é uma soma infinita de termos na forma $ a_n (x - c)^n $, onde $ c $ é o centro da série. Para encontrar a série de potências de $ \ln(5 - x) $, vamos reescrever a função de um jeito que facilite a aplicação da série de Taylor.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja $ u = 5 - x $, então $ \ln(5 - x) = \ln(u) $. Agora, queremos expandir $ \ln(u) $ em uma série de potências em torno de $ x = 0 $ (centro $ c = 0 $).
Passo 4
Sabemos que a expansão em série de Taylor para $ \ln(1 + t) $ é:
Precisamos ajustar nossa função para se parecer com $ \ln(1 + t) $. Observando que $ u = 5 - x $, podemos escrever:
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula da série de Taylor para $ \ln(1 - t) $, que é:
No nosso caso, $ t = \frac{x}{5} $. Então:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão para $ \ln(5 - x) $:
Essa é a representação em série de potências para $ f(x) = \ln(5 - x) $.
Passo 7
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. A série
é uma série de potência do tipo $ \sum a_n x^n $ com $ a_n = \frac{1}{5^n n} $.
Para encontrar o raio de convergência $ R $, usamos o critério da razão:
O raio de convergência $ R $ é o inverso desse limite:
Resposta
A representação em série de potências de $ f(x) = \ln(5 - x) $ é:
E o raio de convergência dessa série é $ R = 5 $.