Determine uma representação em série de potências, e o correspondente raio de convergência de cada série, para as funções:
(a) f(x)=ln (5-x)
(b) f(x)=x^2 arctan (x^3)
© f(x)=1+x(1-x)^2
(d) f(x)=ln (1+x1-x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências para a função $ f(x) = \ln(5 - x) $ e determinar o raio de convergência dessa série. A gente vai usar conceitos de séries de Taylor e propriedades de convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que uma série de potências é uma soma infinita de termos na forma $ a_n (x - c)^n $, onde $ c $ é o centro da série. Para encontrar a série de potências de $ \ln(5 - x) $, vamos reescrever a função de um jeito que facilite a aplicação da série de Taylor.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja $ u = 5 - x $, então $ \ln(5 - x) = \ln(u) $. Agora, queremos expandir $ \ln(u) $ em uma série de potências em torno de $ x = 0 $ (centro $ c = 0 $).

Passo 4

Sabemos que a expansão em série de Taylor para $ \ln(1 + t) $ é:
ln(1 + t)
Precisamos ajustar nossa função para se parecer com $ \ln(1 + t) $. Observando que $ u = 5 - x $, podemos escrever:
ln(1 + t) = sumn=1^infty (-1)^n+1 t^nn, para |t| < 1

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula da série de Taylor para $ \ln(1 - t) $, que é:
ln(1 - t)
No nosso caso, $ t = \frac{x}{5} $. Então:
ln(1 - t) = -sumn=1^infty t^nn, para |t| < 1

Passo 6

Substituindo de volta na expressão para $ \ln(5 - x) $:
ln(5 - x)
Essa é a representação em série de potências para $ f(x) = \ln(5 - x) $.

Passo 7

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. A série sumn=1^infty (x5)^nn é uma série de potência do tipo $ \sum a_n x^n $ com $ a_n = \frac{1}{5^n n} $.
Para encontrar o raio de convergência $ R $, usamos o critério da razão:
sum an x^n
O raio de convergência $ R $ é o inverso desse limite:
an = 15^n n

Resposta

A representação em série de potências de $ f(x) = \ln(5 - x) $ é:
f(x) = ln(5 - x)
E o raio de convergência dessa série é $ R = 5 $.

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