(2,0) Calcule os limites abaixo ou prove que não existem
lim (x, y) (0,0) 5 x^2 y^2x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis f(x,y)=dfrac5x^2y^2x^2+y^2 quando (x,y)to(0,0). O conteúdo é limite de funções em R^2 e vamos usar coordenadas polares como ferramenta.

Passo 2

Primeiro, escrevemos x e y em coordenadas polares:
x = rcostheta,
y = rsintheta,
onde r = raizx^2+y^2 e 0 <= rto0 descreve a aproximação a (0,0).

Passo 3

Substituindo em f(x,y):
f(r,theta)=5l(rcosthetar)^2l(rsinthetar)^2r^2 =5r^2cos^2theta,sin^2theta

Passo 4

Como cos^2theta<=1 e sin^2theta<=1, temos
|f(r,theta)|=5r^2cos^2theta,sin^2theta<=5r^2

Passo 5

Quando rto0, o termo 5r^2 tende a zero, logo f(r,theta)to0 independentemente de theta.
Portanto o limite existe e vale zero.

Resposta

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