Determine a família de primitivas para cada função: integral x(1+4 x^2)^2 d x

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos encontrar a família de primitivas da função f(x)=x(1+4x^2)^2. O conteúdo principal é integração por substituição.

Passo 2

Identificar a substituição: note que o denominador é (1+4x^2)^2. Então vamos definir u=1+4x^2. Assim, diferenciando ambos os lados, temos du=8x,dx, ou seja, x,dx=18,du.

Passo 3

Reescrever a integral em termos de u:
integral x(1+4x^2)^2,dx = integral 1u^2,l(x,dxr) = integral 1u^2 cdot 18,du = 18integral u^-2,du

Passo 4

Calcular a antiderivada em u: integrar u^-2 -u^-1/1. Então
18integral u^-2,du = 18l(-u^-1r)+C = -18u+C

Passo 5

Voltar à variável x: lembrando que u=1+4x^2, a primitiva fica
F(x)=-18,(1+4x^2)+C

Resposta

-dfrac18,(1+4x^2)+C

Exercícios relacionados