(3,0) Sejam f(x, y)=y+x^2-1x^2-y-1, D o dominio de f in P=(2,2,5),
Calcule a reta ortogonal ao gráfico de f em P.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função f(x,y)=y+x^2-1x^2-y-1, cujo gráfico é uma superfície em R^3. O ponto dado é P=(2,2,5), que de fato satisfaz 5=f(2,2). Precisamos achar a reta ortogonal a essa superfície em P. Vamos usar derivadas parciais, vetor normal a superfícies e equação paramétrica de reta.

Passo 2

Para uma superfície definida por z=f(x,y), o vetor normal em cada ponto é dado por (fx,fy,-1). Para obter fx e fy usamos a regra do quociente: se u=y+x^2-1 e v=x^2-y-1, então
fx=ux,v-u,vxv^2, fy=uy,v-u,vyv^2

Passo 3

Calculando as derivadas parciais gerais:
ux=2x, vx=2x
uy=1, vy=-1
Substituindo,
fx=2x,(x^2-y-1)-(y+x^2-1),2x(x^2-y-1)^2=2xl((x^2-y-1)-(y+x^2-1)r)(x^2-y-1)^2=-4xy(x^2-y-1)^2
fy=1,(x^2-y-1)-(y+x^2-1)(-1)(x^2-y-1)^2=(x^2-y-1)+(y+x^2-1)(x^2-y-1)^2=2(x^2-1)(x^2-y-1)^2

Passo 4

Avaliando em (2,2):
v(2,2)=2^2-2-1=1, u(2,2)=2+2^2-1=5
fx(2,2)=-4cdot2cdot21^2=-16, fy(2,2)=2(2^2-1)1^2=6

Passo 5

O vetor normal ao gráfico em P é n=(fx(2,2),fy(2,2),-1)=(-16,6,-1). Assim, a reta ortogonal em P tem equação paramétrica com direção n.

Resposta

A reta ortogonal ao gráfico é dada pela equação paramétrica
x=2-16t, y=2+6t, z=5-t

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