Calcule os limites abaixo, usando as propriedades de limite.
lim (x, y) (1,1) ln |1+x^2 y^2|

Passo 1

O enunciado pede calcular
lim(x,y)(1,1) ln|1+x^2y^2|.
O conteúdo principal aqui é usar propriedades de limites e a continuidade de funções elementares para avaliar esse limite.

Passo 2

Definimos a função interna
g(x,y)=1+x^2y^2
Como g é polinomial, ela é contínua em todo R^2. Logo,
lim(x,y)(1,1)g(x,y) =1+1^2cdot1^2 =2

Passo 3

Perceba que g(x,y)to2>0, então a presença do valor absoluto não altera o limite:
lim(x,y)(1,1)l|1+x^2y^2r| =l|lim(x,y)(1,1)g(x,y)r| =|2| =2

Passo 4

A função ln(t) é contínua para t>0. Assim, podemos passar o limite para dentro do ln:
lim(x,y)(1,1) lnl|1+x^2y^2r| =ln!l(lim(x,y)(1,1)l|1+x^2y^2r|r) =ln(2)

Resposta

ln(2)

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