Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para a seguinte função.
f(x)=e^x c=0

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=e^x em torno de c=0, ou seja, a série de Maclaurin. Vamos usar a definição:
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(c)n!(x-c)^n

Passo 2

Calcular as derivadas de f. Como f(x)=e^x, temos para todo n>=0:
f^(n)(x)=e^x

Passo 3

Avaliar cada derivada em c=0. Para todo n>=0:
f^(n)(0)=e^0=1

Passo 4

Substituir na fórmula da série de Maclaurin:
e^x=sumn=0^infty1n!x^n =sumn=0^inftyx^nn!
Escrevendo os primeiros termos:
e^x=1+x+x^22!+x^33!+cdots

Passo 5

Verificamos que o raio de convergência dessa série é infinito, então ela converge para todo xinR.

Resposta

e^x=sumn=0^inftyx^nn!

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