Questão 5. Ao ser lançada no espaço uma nave, o peso de um astronauta decresce até atingir um estado de imponderabilidade. O peso W de um astronauta de 150 lb a uma altitude de x km acima do nível do mar é dado por
W=150(64006400+x)^2
Se a nave se afasta da terra à razão de 6 km / s, a que taxa decresce W quando x=1000 km ?

Passo 1

O enunciado dá a função do peso W em libras de um astronauta em função da altitude x (em km):
W(x)=150l(64006400+xr)^2,
e informa que a altitude cresce à taxa dxdt=6 km/s.
Queremos encontrar dWdt em x=1000 km.
O conteúdo usado será derivação de função composta e regra da cadeia.

Passo 2

Usando regra da cadeia, escrevemos
W(x)=150cdotl(6400,(6400+x)^-1r)^2 =150cdot 6400^2,(6400+x)^-2
Logo,
dWdx =150cdot 6400^2cdot(-2),(6400+x)^-3 =-300cdot 6400^2,(6400+x)^-3

Passo 3

Agora substituímos x=1000:
6400+1000=7400 Longrightarrow dWdx|x=1000 =-300cdot6400^27400^3
Fica assim em forma exata:
dWdx|x=1000 =-3006400^27400^3 lbkm

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia para obter dWdt:
dWdt =dWdx,dxdt =-3006400^27400^3cdot 6

Passo 5

Calculando numericamente:
dWdx|1000approx -0,03032 lbkm Longrightarrow dWdtapprox -0,03032cdot 6=-0,1819 lbs

Resposta

A taxa de variação do peso em x=1000 km é aproximadamente
dWdtapprox -0,182 lb/s

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