1-6. Calcule os limites abaixo, usando as propriedades de limites:
  1. lim (x, y) (1,3)(4 x y^2-x)
  2. lim (x, y) (1 / 2, pi) x y^2 sen x y
  3. lim (x, y) (-1,2) x y^3x+y
  4. lim (x, y) (1,-3) e^2 x-y^2
  5. lim (x, y) (0,0) ln (1+x^2 y^3)
  6. lim (x, y) (0,0) x raiz[3]y^3+2 x

Passo 1

O enunciado pede seis limites de funções de duas variáveis. Vamos usar que polinômios, produto, quociente (quando o denominador não anula no ponto), a função exponencial, o logaritmo e a raiz de índice ímpar são contínuos em seus domínios. Assim basta substituir (x,y) pelo ponto dado em cada item.

Passo 2

Para
note que é combinação de soma e produto de polinômios, logo contínua em . Basta avaliar em :

Passo 3

Para
temos produto de funções contínuas ( , e ), logo contínua em . Avaliando em :

Passo 4

Para
lim(x,y)to(-1,2) x,y^3x+y
vemos que x+y em (-1,2) vale -1+2=1neq0, então o quociente é contínuo nesse ponto. Avaliando:
(-1)cdot2^3-1+2 = -81 = -8

Passo 5

Para
lim(x,y)to(1,-3) e^2x - y^2
a exponencial é contínua, então
e^2cdot1 - (-3)^2 = e^2 - 9 = e^-7

Passo 6

Para
lim(x,y)to(0,0) lnl(1 + x^2y^3r)
o argumento tende a 1 + 0^2cdot0^3 = 1 e ln é contínuo em torno de 1. Logo o limite é
ln(1) = 0

Passo 7

Para
lim(x,y)to(0,0) x,raiz[3]y^3 + 2x
note que y^3 + 2xto0 e a raiz de índice ímpar é contínua, então raiz[3]y^3+2xto0. Assim o produto tende a
0cdot0 = 0

Resposta

  1. 35
  2. tfracpi^22
  3. -8
  4. e^-7
  5. 0
  6. 0

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