(1,0) Se f(x)=integral0^x x^2 sen(t^2) d t, calcule f^prime(raizpi2).

Passo 1

O enunciado define
f(x)=integral0^xt^2sinl(t^2r),dt
e pede f'l(tfracraizpi2r).
O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1), que diz que
ddxintegral0^xg(t),dt = g(x)

Passo 2

Identificamos a função sob o sinal de integração como
g(t)=t^2sinl(t^2r)
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
f'(x)=g(x)=x^2sinl(x^2r)

Passo 3

Agora basta avaliar em x=tfracraizpi2. Primeiro calculemos x^2:
l(tfracraizpi2r)^2=pi4
Em seguida, o argumento do seno é
x^2=pi4 Longrightarrow sinl(x^2r)=sin!l(tfracpi4r)=raiz22

Passo 4

Substituindo em f'(x)=x^2sin(x^2), obtemos
f'!l(tfracraizpi2r) =pi4,sin!l(tfracpi4r) =pi4cdotraiz22 =piraiz28

Resposta

f'!l(tfracraizpi2r)=piraiz28

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