Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{4-\sqrt{16+h}}{h-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{h\to0}\frac{4-\sqrt{16+h}}{h-1}.
Dados relevantes:
  • A expressão envolve a função raiz quadrada \sqrt{\,\cdot\,} aplicada a 16+h.
  • O ponto de aproximação é h\to0.
  • Não há imagem ou dados adicionais.

Passo 2

Relembrando propriedades de limites que vou usar (bem mastigadas):
  • Se \lim_{h\to0}A(h)=L e \lim_{h\to0}B(h)=M com M\neq0, então
\lim_{h\to0}\frac{A(h)}{B(h)}=\frac{L}{M}.
Isto é a propriedade do limite do quociente (só vale quando o limite do denominador é diferente de zero).
  • Funções contínuas permitem trocar limite e função: se f é contínua em um ponto a, então \lim_{h\to0} f(a+h)=f(a). A raiz quadrada é contínua para argumentos positivos, logo é contínua em 16.

Passo 3

Calcular o limite do numerador separadamente:
\text{Numerador }N(h)=4-\sqrt{16+h}.
Como a função \sqrt{\,\cdot\,} é contínua em 16, temos
\lim_{h\to0}\sqrt{16+h}=\sqrt{16}=4.
Portanto
\lim_{h\to0}N(h)=4-4=0.

Passo 4

Calcular o limite do denominador separadamente:
\text{Denominador }D(h)=h-1.
A função identidade h\mapsto h e a subtração são contínuas, então
\lim_{h\to0}D(h)=0-1=-1.
Note que este limite é diferente de zero, condição necessária para aplicar a propriedade do quociente.

Passo 5

Aplicando a propriedade do quociente (visto que \lim N(h)=0 e \lim D(h)=-1\neq0):
\lim_{h\to0}\frac{4-\sqrt{16+h}}{h-1}=\frac{\,\lim_{h\to0}(4-\sqrt{16+h})\,}{\,\lim_{h\to0}(h-1)\,}=\frac{0}{-1}.
Dividir 0 por qualquer número diferente de zero dá 0.

Passo 6

(Só para reforçar — método algébrico alternativo) Podemos também racionalizar o numerador para ver a mesma conclusão. Multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado 4+\sqrt{16+h}:
\frac{4-\sqrt{16+h}}{h-1} =\frac{(4-\sqrt{16+h})(4+\sqrt{16+h})}{(h-1)(4+\sqrt{16+h})} =\frac{16-(16+h)}{(h-1)(4+\sqrt{16+h})} =\frac{-h}{(h-1)(4+\sqrt{16+h})}.
Reescrevendo \dfrac{-h}{h-1}=\dfrac{h}{1-h}, obtém-se
\frac{4-\sqrt{16+h}}{h-1}=\frac{h}{(1-h)(4+\sqrt{16+h})}.
Tomando h\to0: o numerador tende a 0 e o denominador tende a (1)(4+4)=8, então o quociente tende a 0. Mesma resposta, só com manipulação algébrica.

Passo 7

Resumo final do raciocínio: o numerador tende a 0, o denominador tende a -1 (não nulo), então pelo limite do quociente o limite dado é 0. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no raciocínio!

Resposta

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