Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Dados relevantes:
- A expressão envolve a função raiz quadrada
aplicada a . - O ponto de aproximação é
. - Não há imagem ou dados adicionais.
Passo 2
Relembrando propriedades de limites que vou usar (bem mastigadas):
- Se
e com , então
Isto é a propriedade do limite do quociente (só vale quando o limite do denominador é diferente de zero).
- Funções contínuas permitem trocar limite e função: se
é contínua em um ponto , então . A raiz quadrada é contínua para argumentos positivos, logo é contínua em .
Passo 3
Calcular o limite do numerador separadamente:
Como a função
é contínua em
, temos
Portanto
Passo 4
Calcular o limite do denominador separadamente:
A função identidade
e a subtração são contínuas, então
Note que este limite é diferente de zero, condição necessária para aplicar a propriedade do quociente.
Passo 5
Aplicando a propriedade do quociente (visto que
e
):
Dividir
por qualquer número diferente de zero dá
.
Passo 6
(Só para reforçar — método algébrico alternativo) Podemos também racionalizar o numerador para ver a mesma conclusão. Multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado
:
Reescrevendo
, obtém-se
Tomando
: o numerador tende a
e o denominador tende a
, então o quociente tende a
. Mesma resposta, só com manipulação algébrica.
Passo 7
Resumo final do raciocínio: o numerador tende a
, o denominador tende a
(não nulo), então pelo limite do quociente o limite dado é
. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no raciocínio!