Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
\lim _{x \rightarrow 1}(3 x-1)^{5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 1}(3x-1)^{5}.
Informações dadas:
  • A expressão cuja variável tende a um valor é (3x-1)^{5}.
  • O ponto de interesse é x \to 1.
  • A pergunta é: qual é o valor numérico do limite quando x se aproxima de 1?

Passo 2

Lembrete das propriedades de limites que vou usar (com explicação simples):
  • Se \lim_{x\to a} f(x)=L e c é constante, então \lim_{x\to a} c = c e \lim_{x\to a} [c\cdot f(x)] = c\cdot L. Aqui a é o ponto de aproximação, f é uma função e L é o limite de f.
  • Se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M, então \lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) = L+M e \lim_{x\to a} (f(x)\cdot g(x)) = L\cdot M.
  • Regra de potência para inteiro positivo n: se \lim_{x\to a} f(x)=L, então \lim_{x\to a} [f(x)]^{n} = L^{n}. Isso decorre da regra do produto aplicada n vezes.
Essas regras dizem, em palavras simples: podemos calcular limites de expressões montando-os a partir de limites de partes mais simples (constantes, x, somas, produtos) e depois recombinar os resultados.

Passo 3

Calcular o limite da parte interna \lim_{x\to 1} (3x-1).
Usando as regras:
  • \lim_{x\to 1} x = 1 (a função identidade tende ao ponto).
  • Pelo fator constante, \lim_{x\to 1} 3x = 3\cdot \lim_{x\to 1} x = 3\cdot 1 = 3.
  • A constante -1 tem limite -1: \lim_{x\to 1} (-1) = -1.
  • Pela regra da soma, \lim_{x\to 1} (3x-1) = \lim_{x\to 1} 3x + \lim_{x\to 1}(-1) = 3 + (-1) = 2.
Portanto
\lim_{x\to 1} (3x-1) = 2.

Passo 4

Agora aplico a regra da potência com n=5. Como \lim_{x\to 1} (3x-1)=2, segue que
\lim_{x\to 1} (3x-1)^{5} = \big(\lim_{x\to 1} (3x-1)\big)^{5} = 2^{5}.
Calculo explícito de 2^{5}:
2^{5}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32.

Passo 5

Comentário rápido e prático (dica para prova): para funções polinomiais, lineares e potências inteiras positivas costuma valer a “substituição direta” — primeiro encontra-se o limite da expressão interna e depois eleva-se à potência. Isso economiza tempo e é robusto quando não há indeterminação.

Resposta

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