Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
\lim _{k \rightarrow 2} \sqrt{3 k^{2}+4} \sqrt[3]{3 k+2}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{k \rightarrow 2} \sqrt{3 k^{2}+4}\,\sqrt[3]{3 k+2}.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A expressão é o produto de duas funções: f(k)=\sqrt{3k^{2}+4} e g(k)=\sqrt[3]{3k+2}.
  • O ponto onde se toma o limite é k=2.
  • Não há outras restrições explícitas (por exemplo, de domínio) no enunciado.

Passo 2

Propriedade de limites que vou usar (é clássica e vale quando os limites existem e são finitos):
\text{Se }\lim_{k\to a} f(k)=L\quad\text{e}\quad\lim_{k\to a} g(k)=M\quad\text{então}\quad \lim_{k\to a} \big(f(k)\,g(k)\big)=L\,M.ã
Explicação simples: o limite de um produto é o produto dos limites, desde que cada limite exista e seja finito. Vou aplicar isso com a=2, f(k)=\sqrt{3k^{2}+4} e g(k)=\sqrt[3]{3k+2}.

Passo 3

Argumento de continuidade (por que posso substituir k por 2 dentro das funções):
  • Polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}. As expressões 3k^{2}+4 e 3k+2 são polinômios, logo são contínuas.
  • A função h(x)=\sqrt{x} é contínua em seu domínio [0,\infty). Aqui 3k^{2}+4\ge 4>0 para todo k, então h pode ser aplicada e a composição k\mapsto \sqrt{3k^{2}+4} é contínua;— portanto \lim_{k\to2}\sqrt{3k^{2}+4}=\sqrt{3\cdot2^{2}+4}.
  • A função r(x)=\sqrt[3]{x} (raiz cúbica) é contínua em todo \mathbb{R}. Assim a composição k\mapsto \sqrt[3]{3k+2} é contínua;— portanto \lim_{k\to2}\sqrt[3]{3k+2}=\sqrt[3]{3\cdot2+2}.
Resumo: ambos os limites parciais existem e são simplesmente os valores das funções em k=2.

Passo 4

Cálculo explícito dos valores nos pontos:
Calcular 3\cdot2^{2}+4:
3\cdot2^{2}+4=3\cdot4+4=12+4=16.
Logo
\sqrt{3\cdot2^{2}+4}=\sqrt{16}=4.
Calcular 3\cdot2+2:
3\cdot2+2=6+2=8.
Logo
\sqrt[3]{3\cdot2+2}=\sqrt[3]{8}=2.

Passo 5

Agora uso a propriedade do produto de limites (Passo 2) e multiplico os resultados obtidos:
\lim_{k \rightarrow 2} \sqrt{3 k^{2}+4}\,\sqrt[3]{3 k+2} = \left(\lim_{k\to2}\sqrt{3k^{2}+4}\right)\left(\lim_{k\to2}\sqrt[3]{3k+2}\right)=4\cdot2=8.

Resposta

8

Exercícios relacionados