Portanto, ao substituir aparece a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso indica que não podemos concluir o valor do limite apenas por substituição direta e precisamos manipular a expressão.
Passo 3
Estratégia para resolver \dfrac{0}{0}: usar manipulação algébrica para eliminar a indeterminação. Técnica básica e segura (quando possível) é reescrever a expressão de forma equivalente para x\neq-3, simplificar fatores que causam o zero e então tomar o limite da expressão simplificada. Isso é válido porque o limite depende de valores de x próximos de -3, mas não necessariamente do valor no ponto x=-3 em si.
Passo 4
Vamos simplificar o denominador somando as frações. Para \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3} use o denominador comum 3x:
Agora podemos cancelar o fator comum x+3 (lembrando que essa cancelação é válida para x\neq-3; isso é suficiente para limites porque consideramos valores próximos a -3, não necessariamente igual a -3):
Portanto, para x próximo de -3 (exceto em -3 exatamente) a função original coincide com a função simples 3x.
Passo 7
Como a função 3x é contínua em x=-3, o limite quando x\to-3 é simplesmente o valor obtido por substituição:
\lim_{x\to-3}3x=3\cdot(-3)=-9.
Passo 8
Comentário final (didático e motivador): escolhemos manipulação algébrica por ser o método mais direto e básico aqui — l’Hôpital daria o mesmo resultado, mas é desnecessário quando dá para cancelar fatores. Essa técnica de reduzir uma forma indeterminada \dfrac{0}{0} por simplificação é muito útil em provas e exercícios rápidos.