Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x+3}{(1 / x)+(1 / 3)}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to-3}\frac{x+3}{\left(\dfrac{1}{x}\right)+\left(\dfrac{1}{3}\right)}.
Informações dadas:
  • A função cujo limite queremos é a razão entre \,x+3\, e \,\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}\,.
  • O ponto de aproximação é x\to-3.

Passo 2

Primeira verificação rápida: tentar substituir x=-3 diretamente para ver que tipo de situação temos.
Calculemos o numerador em x=-3:
x+3\Big|_{x=-3}=(-3)+3=0.
Calculemos o denominador em x=-3:
\frac{1}{x}+\frac{1}{3}\Big|_{x=-3}=\frac{1}{-3}+\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=0.
Portanto, ao substituir aparece a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso indica que não podemos concluir o valor do limite apenas por substituição direta e precisamos manipular a expressão.

Passo 3

Estratégia para resolver \dfrac{0}{0}: usar manipulação algébrica para eliminar a indeterminação. Técnica básica e segura (quando possível) é reescrever a expressão de forma equivalente para x\neq-3, simplificar fatores que causam o zero e então tomar o limite da expressão simplificada. Isso é válido porque o limite depende de valores de x próximos de -3, mas não necessariamente do valor no ponto x=-3 em si.

Passo 4

Vamos simplificar o denominador somando as frações. Para \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3} use o denominador comum 3x:
\frac{1}{x}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3x}+\frac{x}{3x}=\frac{3+x}{3x}.

Passo 5

Substituindo essa expressão na fração original obtemos, para x\neq0 e x\neq-3 (valores que anulam denominadores intermediários),
\frac{x+3}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}} = \frac{x+3}{\dfrac{3+x}{3x}}.
Como 3+x=x+3, a expressão fica
\frac{x+3}{\dfrac{x+3}{3x}}=(x+3)\cdot\frac{3x}{x+3}.

Passo 6

Agora podemos cancelar o fator comum x+3 (lembrando que essa cancelação é válida para x\neq-3; isso é suficiente para limites porque consideramos valores próximos a -3, não necessariamente igual a -3):
(x+3)\cdot\frac{3x}{x+3}=3x\qquad\text{(para }x\neq-3\text{)}.
Portanto, para x próximo de -3 (exceto em -3 exatamente) a função original coincide com a função simples 3x.

Passo 7

Como a função 3x é contínua em x=-3, o limite quando x\to-3 é simplesmente o valor obtido por substituição:
\lim_{x\to-3}3x=3\cdot(-3)=-9.

Passo 8

Comentário final (didático e motivador): escolhemos manipulação algébrica por ser o método mais direto e básico aqui — l’Hôpital daria o mesmo resultado, mas é desnecessário quando dá para cancelar fatores. Essa técnica de reduzir uma forma indeterminada \dfrac{0}{0} por simplificação é muito útil em provas e exercícios rápidos.

Resposta

-9

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