Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas: a variável tende a
e a expressão a ser avaliada é a fração acima. Não há imagens nem dados numéricos adicionais.
Passo 2
Primeira manipulação algébrica: fatorar o numerador para simplificar.
Portanto o quociente fica
Passo 3
Usar a identidade trigonométrica que liga
a
de meia-ângulo.
A identidade é
A identidade é
que vem da fórmula do cosseno de ângulo duplo
.
Substituindo na expressão obtém-se
Substituindo na expressão obtém-se
Passo 4
Expressar
em termos de meia-ângulo para poder cancelar fatores:
portanto
Substituindo esse valor no denominador e cancelando
(válido para
próximo de
, exceto exatamente
, o que é irrelevante para o limite) temos
Passo 5
Usar a identidade
(outra forma da fórmula do ângulo duplo) para reescrever a fração:
Passo 6
Agora aplicamos o limite quando
. A função cosseno é contínua, logo
Substituindo esse valor na expressão obtida no passo anterior,