Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\cos ^{2} x}{\operatorname{sen}^{2} x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-\cos^{2}x}{\operatorname{sen}^{2}x}.
Informações dadas: a variável tende a 0 e a expressão a ser avaliada é a fração acima. Não há imagens nem dados numéricos adicionais.

Passo 2

Primeira manipulação algébrica: fatorar o numerador para simplificar.
\cos x-\cos^{2}x=\cos x\,(1-\cos x).
Portanto o quociente fica
\frac{\cos x-\cos^{2}x}{\operatorname{sen}^{2}x}=\frac{\cos x\,(1-\cos x)}{\operatorname{sen}^{2}x}.

Passo 3

Usar a identidade trigonométrica que liga 1-\cos x a \operatorname{sen} de meia-ângulo.
A identidade é
1-\cos x = 2\operatorname{sen}^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right),
que vem da fórmula do cosseno de ângulo duplo \cos x = 1-2\operatorname{sen}^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right).
Substituindo na expressão obtém-se
\frac{\cos x\,(1-\cos x)}{\operatorname{sen}^{2}x} = \frac{\cos x\cdot 2\operatorname{sen}^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\operatorname{sen}^{2}x}.

Passo 4

Expressar \operatorname{sen} x em termos de meia-ângulo para poder cancelar fatores:
\operatorname{sen} x = 2\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}\right),
portanto
\operatorname{sen}^{2}x = 4\operatorname{sen}^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right)\cos^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right).
Substituindo esse valor no denominador e cancelando \operatorname{sen}^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right) (válido para x próximo de 0, exceto exatamente 0, o que é irrelevante para o limite) temos
\frac{\cos x\cdot 2\operatorname{sen}^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right)}{4\operatorname{sen}^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right)\cos^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{2\cos x}{4\cos^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{\cos x}{2\cos^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right)}.

Passo 5

Usar a identidade \cos x = 2\cos^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right)-1 (outra forma da fórmula do ângulo duplo) para reescrever a fração:
\frac{\cos x}{2\cos^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{2\cos^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right)-1}{2\cos^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right)} = 1 - \frac{1}{2\cos^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right)}.

Passo 6

Agora aplicamos o limite quando x\to 0. A função cosseno é contínua, logo
\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\xrightarrow[x\to 0]{} \cos 0 = 1.
Substituindo esse valor na expressão obtida no passo anterior,
1 - \frac{1}{2\cos^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right)} \xrightarrow[x\to 0]{} 1 - \frac{1}{2\cdot 1^{2}} = 1 - \frac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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