Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações e observações imediatas:
- A expressão envolve
, logo estamos trabalhando com perto de . - Queremos o valor numérico do limite quando
se aproxima de . - Não vamos assumir nada ainda sobre o valor do limite; apenas listar o que é pedido e os dados.
Passo 2
Testar substituir
diretamente para ver se dá um valor imediato:
Portanto obtém-se a forma indeterminada
. Isso indica que é preciso simplificar algebraicamente a expressão antes de avaliar o limite.
Passo 3
Uma técnica útil aqui é fazer a substituição
Justificativa: a função
é contínua em torno de
, então quando
temos
. Substituindo
na expressão, o limite em
transforma-se em um limite em
:
Passo 4
Agora vamos fatorar o polinômio do numerador
. Para fatorar um quadrático
procuramos dois números cuja soma seja
e produto seja
. Aqui
e
.
Procurando fatores: e
têm produto
e soma
, mas precisamos de soma
, então escolha
e
— melhor calcular pelas raízes:
Resolver . O discriminante é
Procurando fatores:
Resolver
As raízes são
Isso dá
e
. Assim a fatoração é
Passo 5
Reescrevendo a fração com a fatoração:
Note que
. Portanto
desde que
. Esse passo é válido para avaliar o limite porque limites consideram valores próximos de
, não necessariamente o próprio
; podemos simplificar a expressão para
próximos de
.
Passo 6
Agora que a expressão foi simplificada para uma função contínua em
próxima de
, avaliamos o limite substituindo
:
Como a mudança de variável é contínua e equivalente, esse é também o valor do limite original em
.
Resposta
-7