Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
\lim _{x \rightarrow 16} \frac{x-\sqrt{x}-12}{4-\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 16} \frac{x-\sqrt{x}-12}{4-\sqrt{x}}.
Informações e observações imediatas:
  • A expressão envolve \sqrt{x}, logo estamos trabalhando com x\ge 0 perto de 16.
  • Queremos o valor numérico do limite quando x se aproxima de 16.
  • Não vamos assumir nada ainda sobre o valor do limite; apenas listar o que é pedido e os dados.

Passo 2

Testar substituir x=16 diretamente para ver se dá um valor imediato:
\text{numerador: }16-\sqrt{16}-12=16-4-12=0, \qquad \text{denominador: }4-\sqrt{16}=4-4=0.
Portanto obtém-se a forma indeterminada 0/0. Isso indica que é preciso simplificar algebraicamente a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 3

Uma técnica útil aqui é fazer a substituição
t=\sqrt{x}.
Justificativa: a função \sqrt{x} é contínua em torno de x=16, então quando x\to16 temos t=\sqrt{x}\to\sqrt{16}=4. Substituindo x=t^2 na expressão, o limite em x transforma-se em um limite em t:
\frac{x-\sqrt{x}-12}{4-\sqrt{x}} = \frac{t^{2}-t-12}{4-t}, \qquad t\to 4.

Passo 4

Agora vamos fatorar o polinômio do numerador t^{2}-t-12. Para fatorar um quadrático t^{2}+bt+c procuramos dois números cuja soma seja b e produto seja c. Aqui b=-1 e c=-12.
Procurando fatores: 4 e -3 têm produto -12 e soma 1, mas precisamos de soma -1, então escolha -4 e 3 — melhor calcular pelas raízes:
Resolver t^{2}-t-12=0. O discriminante é
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot(-12)=1+48=49.
As raízes são
t=\frac{1\pm\sqrt{49}}{2}=\frac{1\pm7}{2}.
Isso dá t=4 e t=-3. Assim a fatoração é
t^{2}-t-12=(t-4)(t+3).

Passo 5

Reescrevendo a fração com a fatoração:
\frac{t^{2}-t-12}{4-t}=\frac{(t-4)(t+3)}{4-t}.
Note que 4-t=-(t-4). Portanto
\frac{(t-4)(t+3)}{4-t}=\frac{(t-4)(t+3)}{-(t-4)}=-(t+3),
desde que t\neq 4. Esse passo é válido para avaliar o limite porque limites consideram valores próximos de 4, não necessariamente o próprio t=4; podemos simplificar a expressão para t próximos de 4.

Passo 6

Agora que a expressão foi simplificada para uma função contínua em t próxima de 4, avaliamos o limite substituindo t\to 4:
\lim_{t\to 4}-(t+3)=-(4+3)=-7.
Como a mudança de variável é contínua e equivalente, esse é também o valor do limite original em x.

Resposta

-7

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