Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
\lim _{x \rightarrow 0} x^{2} e^{\operatorname{sen}(\pi / x)}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do seguinte limite quando x tende a zero:
\lim_{x\to 0} x^{2} e^{\sin(\pi/x)}.
Informações relevantes dadas (ou imediatamente conhecidas):
  • A função \sin(t) satisfaz -1 \le \sin(t) \le 1 para todo t.
  • A função exponencial e^{u} é crescente e positiva para todo u.
  • Para todo x real vale x^{2}\ge 0 e \lim_{x\to 0} x^{2}=0.

Passo 2

Conceitos e propriedades que vou usar (explicados de forma didática):
  • Propriedade da função seno: \sin(t) está sempre entre -1 e 1. Isso é uma desigualdade básica da trigonometria.
  • Monotonicidade da exponencial: se a\le b então e^{a}\le e^{b}. Como e^{u} é crescente, ao aplicar e^{(\cdot)} numa desigualdade preserva a ordem.
  • Teorema do confronto (ou “squeeze theorem”): se para toda x em uma vizinhança de a vale g(x)\le f(x)\le h(x) e \lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L, então \lim_{x\to a} f(x)=L.
  • Propriedade de limite com constante: se c é constante então \lim_{x\to a} c\cdot \varphi(x) = c\cdot \lim_{x\to a}\varphi(x), quando \lim_{x\to a}\varphi(x) existe.
Vou aplicar essas ideias para “encurralar” a função entre duas que têm limite conhecido.

Passo 3

Aplicando as desigualdades ao seno e depois exponenciando:
-1 \le \sin\!\left(\tfrac{\pi}{x}\right) \le 1.
Como e^{u} é crescente, aplicando e^{(\cdot)} obtemos
e^{-1} \le e^{\sin(\pi/x)} \le e^{1}.
Agora multiplicamos essa desigualdade por x^{2}. Como x^{2}\ge 0 para todo x, a ordem das desigualdades é preservada:
x^{2} e^{-1} \le x^{2} e^{\sin(\pi/x)} \le x^{2} e^{1}.

Passo 4

Calculo os limites das funções das bordas quando x\to 0. Usando que \lim_{x\to 0} x^{2}=0 e que podemos retirar constantes:
\lim_{x\to 0} x^{2} e^{-1} = e^{-1}\cdot \lim_{x\to 0} x^{2} = e^{-1}\cdot 0 = 0,
\lim_{x\to 0} x^{2} e^{1} = e^{1}\cdot \lim_{x\to 0} x^{2} = e^{1}\cdot 0 = 0.

Passo 5

Agora aplico o Teorema do Confronto: como para x próximo de 0 vale
x^{2} e^{-1} \le x^{2} e^{\sin(\pi/x)} \le x^{2} e^{1},
e as duas funções das bordas têm limite 0 quando x\to 0, então a função do meio também tem limite 0 quando x\to 0.

Resposta

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