Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do seguinte limite quando
tende a zero:
Informações relevantes dadas (ou imediatamente conhecidas):
- A função
satisfaz para todo . - A função exponencial
é crescente e positiva para todo . - Para todo
real vale e .
Passo 2
Conceitos e propriedades que vou usar (explicados de forma didática):
- Propriedade da função seno:
está sempre entre e . Isso é uma desigualdade básica da trigonometria. - Monotonicidade da exponencial: se
então . Como é crescente, ao aplicar numa desigualdade preserva a ordem. - Teorema do confronto (ou “squeeze theorem”): se para toda
em uma vizinhança de vale e , então . - Propriedade de limite com constante: se
é constante então , quando existe.
Vou aplicar essas ideias para “encurralar” a função entre duas que têm limite conhecido.
Passo 3
Aplicando as desigualdades ao seno e depois exponenciando:
Como
é crescente, aplicando
obtemos
Agora multiplicamos essa desigualdade por
. Como
para todo
, a ordem das desigualdades é preservada:
Passo 4
Calculo os limites das funções das bordas quando
. Usando que
e que podemos retirar constantes:
Passo 5
Agora aplico o Teorema do Confronto: como para
próximo de
vale
e as duas funções das bordas têm limite
quando
, então a função do meio também tem limite
quando
.