Calcule os limites abaixo, usando a regra de L’Hôpital:
o)
o)
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite:
Informações dadas e observações iniciais extras que importam para a resolução:
- Para
a quantidade tende para . - Para
o expoente tende para . - Portanto a expressão tem a aparência de uma forma indeterminada do tipo
.
A partir daqui vamos transformar essa expressão para poder aplicar a regra apropriada (não resolvemos nada ainda).
Passo 2
Estratégia útil (explicação didática): quando um limite envolve uma potência com base tendendo a
e expoente tendendo a infinito (forma
), é muito conveniente tomar o logaritmo natural. Isso transforma a potência em produto, o que facilita usar a regra de L’Hôpital em um quociente. Então definimos
Tomando o logaritmo natural dos dois lados temos
A ideia será calcular
e depois voltar por exponenciação, porque a função exponencial é contínua e monotônica: se
então
.
Passo 3
Reescrevemos o produto
como um quociente apropriado para aplicar a regra de L’Hôpital. Multiplicar por
é o mesmo que dividir por
, logo
Agora verificamos o tipo de indeterminação desse quociente quando
:
-
. -
.
Portanto temos uma indeterminação do tipo, condição em que podemos aplicar a regra de L’Hôpital (desde que as derivadas existam nas vizinhanças consideradas).
Vou lembrar a regra de L’Hôpital de forma prática: se
é do tipo
ou
e
e
são diferenciáveis perto de
com
próximo de
, então
se esse último limite existir. Aqui vamos aplicar isso com
e
.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
e
, sendo cuidadosos e mostrando cada passo (regra da cadeia onde for preciso).
Primeiro
.
- Derivada externa de
é multiplicada pela derivada interna . - Aqui
. A derivada de é .
Portanto
Agora
.
- A derivada é
.
Passo 5
Aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo pelo quociente das derivadas:
Agora simplificamos esse quociente: os sinais negativos se cancelam e o fator
aparece no numerador e no denominador, então
Tomando o limite quando
dessa expressão, observamos que
, logo
Portanto encontramos
Passo 6
Voltamos da transformação pelo logaritmo: se
e a função exponencial é contínua, então
Ou seja,